Satz von der impliziten Funktion

mathematischer Satz

Der Satz von der impliziten Funktion ist ein wichtiger Satz in der Analysis. Er beinhaltet ein relativ einfaches Kriterium, wann eine implizite Gleichung oder ein Gleichungssystem (lokal) eindeutig aufgelöst werden kann.

Der Satz gibt an, unter welcher Bedingung eine Gleichung oder ein Gleichungssystem implizit eine Funktion definiert, für die gilt. Eine derartige Funktion kann im Allgemeinen nur lokal in einer Umgebung einer Stelle gefunden werden. Unter strengeren Annahmen existiert jedoch auch eine globale Version des Satzes.[1]

Ist die Bedingung des Satzes erfüllt, kann die Ableitung als Funktion von und ohne Kenntnis der expliziten Funktion gewonnen werden; man nennt dies auch implizites Differenzieren.

BegriffsbestimmungBearbeiten

Eine implizit definierte Funktion (kurz implizite Funktion) ist eine Funktion, die nicht durch eine explizite Zuordnungsvorschrift   gegeben ist, sondern deren Funktionswerte implizit durch eine Gleichung   definiert sind. Dabei ist   eine vektorwertige Funktion, die genauso viele Einzelfunktionen enthält, wie   Komponenten hat. Wird   fixiert, so ergibt sich ein Gleichungssystem in   mit genauso vielen Gleichungen wie Unbekannten. Der Satz über die implizite Funktion beschreibt Voraussetzungen, unter denen die folgende Aussage gilt:

Wenn eine Lösung   für einen Parametervektor   bekannt ist, dann kann auch für jeden Parametervektor   aus einer hinreichend kleinen Umgebung von   eine eindeutig bestimmte Lösung   des Gleichungssystems   gefunden werden, die in einer Umgebung der ursprünglichen Lösung   liegt.

Diese Aussage ermöglicht es, eine Funktion   zu definieren, die jedem Parametervektor   gerade den Lösungsvektor   zuordnet, sodass diese Funktion auf ihrem Definitionsbereich die Gleichung   erfüllt. Der Satz von der impliziten Funktion stellt zudem sicher, dass diese Zuordnung   unter gewissen Bedingungen und Einschränkungen an  ,   und   wohldefiniert ist – insbesondere, dass sie eindeutig ist.

BeispielBearbeiten

 
Der Einheitskreis wird als die Menge aller Punkte   beschrieben, welche die Gleichung   mit   erfüllen. In einer Umgebung des Punktes A kann   als Funktion von   ausgedrückt werden:  . Bei Punkt B geht das nicht.

Setzt man  , so beschreibt die Gleichung   den Einheitskreis in der Ebene. Der Einheitskreis kann nicht als Graph einer Funktion   geschrieben werden, denn zu jedem   aus dem offenen Intervall   gibt es zwei Möglichkeiten für  , nämlich  .

Es ist jedoch möglich, Teile des Kreises als Funktionsgraph darzustellen. Den oberen Halbkreis bekommt man als Graph der Funktion

 ,

den unteren als Graph von

 .

Der Satz von der impliziten Funktion gibt Kriterien für die Existenz von Funktionen wie   oder  . Er garantiert auch, dass diese Funktionen differenzierbar sind.

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AussageBearbeiten

Seien   und   offene Mengen und

 

eine stetig differenzierbare Abbildung. Die Jacobi-Matrix

 

besteht dann aus zwei Teilmatrizen

 

und

 

wobei letztere quadratisch ist.

Der Satz von der impliziten Funktion besagt nun:

Erfüllt   die Gleichung   und ist die zweite Teilmatrix   im Punkt   invertierbar, so existieren offene Umgebungen   von   und   von   sowie eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung

 

mit   so, dass für alle  ,   gilt:

 .

BeispielBearbeiten

Man wende nun diesen Satz auf das anfangs gegebene Beispiel der Kreisgleichung an: Dazu sind die partiellen Ableitungen nach den  -Variablen zu betrachten. (In diesem Fall ist  , daher ergibt das eine  -Matrix, also einfach eine reelle Funktion): Die partielle Ableitung der Funktion   nach   ergibt  . Der Kehrwert dieses Terms existiert genau dann, wenn   ist. Damit folgert man mit Hilfe des Satzes, dass diese Gleichung für   lokal nach   auflösbar ist. Der Fall   tritt nur an den Stellen   oder   auf. Dies sind also die Problempunkte. Tatsächlich sieht man, dass die Formel   sich genau in diesen Problempunkten in eine positive und negative Lösung verzweigt. In allen anderen Punkten ist die Auflösung lokal eindeutig.

BeweisansatzBearbeiten

Der klassische Ansatz betrachtet zur Lösung der Gleichung   das Anfangswertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichung

 .

Da   in   invertierbar ist, ist dies auch in einer kleinen Umgebung der Fall, d. h., für kleine Vektoren   existiert die Differentialgleichung und ihre Lösung für alle  . Die Lösung der impliziten Gleichung ist nun durch

 

gegeben, die oben angegebenen Eigenschaften dieser Lösung ergeben sich aus den Eigenschaften der Lösungen parameterabhängiger Differentialgleichungen.

Der moderne Ansatz formuliert das Gleichungssystem   mit Hilfe des vereinfachten Newton-Verfahrens als Fixpunktproblem und wendet darauf den Fixpunktsatz von Banach an. Für die dazugehörige Fixpunktabbildung wird die Inverse   der Teilmatrix   der Jacobi-Matrix von   im vorgegebenen Lösungspunkt   gebildet. Zu der Abbildung

 

kann man nun zeigen, dass sie für Parametervektoren   nahe   auf einer Umgebung von   kontraktiv ist. Dies folgt daraus, dass   stetig differenzierbar ist und   gilt.

ZusammenfassungBearbeiten

Der Vorteil des Satzes ist, dass man die Funktion   gar nicht explizit kennen muss, um eine Aussage über deren Existenz und Eindeutigkeit machen zu können. Oft ist die Gleichung auch gar nicht durch elementare Funktionen nach   auflösbar, sondern nur mit numerischen Verfahren. Interessant ist, dass die Konvergenz solcher Verfahren meist gleiche oder ähnliche Voraussetzungen wie der Satz von der impliziten Funktion (die Invertierbarkeit der Matrix der  -Ableitungen) erfordert.

Eine weitere wertvolle Schlussfolgerung des Satzes ist, dass die Funktion   differenzierbar ist, falls   es ist, was bei Anwendung des Satzes über implizite Funktionen vorausgesetzt wird. Die Ableitung kann sogar explizit angegeben werden, indem man die Gleichung   nach der mehrdimensionalen Kettenregel ableitet

 

und dann nach   auflöst:

 .

Eine ähnliche Folgerung gilt für höhere Ableitungen. Ersetzt man die Voraussetzung „  ist stetig differenzierbar“ durch „  ist  -mal stetig differenzierbar“ (oder beliebig oft differenzierbar oder analytisch), kann man folgern, dass    -mal differenzierbar (bzw. beliebig oft differenzierbar bzw. analytisch) ist.

Satz von der UmkehrabbildungBearbeiten

Ein nützliches Korollar zum Satz von der impliziten Funktion ist der Satz von der Umkehrabbildung. Er gibt eine Antwort auf die Frage, ob man eine (lokale) Umkehrfunktion finden kann:

Sei   offen und

 

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei   und  . Die Jacobi-Matrix   sei invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung   von   und eine offene Umgebung   von  , sodass   die Menge   bijektiv auf   abbildet und die Umkehrfunktion

 

stetig differenzierbar ist, oder kurz:   ist ein Diffeomorphismus. Es gilt:

 

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. D. Gale, H. Nikaido: The Jacobian Matrix and Global Univalence of Mappings.. Mathematische Annalen 159 (1965), S. 81–93.