Fixpunktsatz

Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung garantiert

Ein Fixpunktsatz ist in der Mathematik ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes mit .[1]

ÜberblickBearbeiten

In vielen Teilgebieten der Mathematik sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der Fixpunktsatz von Banach.[2] Mit dessen Hilfe kann der Satz von Picard-Lindelöf bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter gewöhnlicher Differentialgleichungen sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.[3]

Der Fixpunktsatz von Schauder ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der Topologie und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den Satz von Peano herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis.[3] So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare kompakte Operatoren formulieren.

Liste von FixpunktsätzenBearbeiten

Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.

Analysis und FunktionalanalysisBearbeiten

DifferentialgeometrieBearbeiten

GruppentheorieBearbeiten

VerbandstheorieBearbeiten

LogikBearbeiten

TopologieBearbeiten

InformatikBearbeiten

KategorientheorieBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4 (springer.com [abgerufen am 6. November 2022]).
  2. Stefan Banach: Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales. In: Fundamenta Mathematicae. Band 3, Nr. 1, 1922, ISSN 0016-2736, S. 133–181 (eudml.org [abgerufen am 6. November 2022]).
  3. a b Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-62190-5, doi:10.1007/978-3-662-62191-2 (springer.com [abgerufen am 6. November 2022]).