Kontraktion (Mathematik)

Eine Kontraktion ist in der Analysis[1] und verwandten Gebieten der Mathematik ist eine Abbildung einer Menge in sich selbst, die die Abstände zwischen zwei beliebigen Punkten von mindestens so stark verringert wie eine zentrische Streckung mit einem festen Streckungsfaktor , also die Menge bei mehrfacher Anwendung „in sich zusammenzieht“ (kontrahiert). Anschaulich erscheint klar, dass durch fortgesetzte Anwendung einer solchen Kontraktion die Ausgangsmenge nach und nach auf eine „beliebig kleine“ Teilmenge abgebildet wird und sich schließlich (könnte man nur unendlich oft abbilden) auf einen Punkt zusammenzieht. Dass diese intuitive Vermutung in sehr allgemeinen Fällen in einem präzisierten Sinn zutrifft, lässt sich mathematisch beweisen. Sätze, die Aussagen machen über die Existenz des „Grenzpunktes“, auf den die Kontraktion zustrebt, seine Berechnung und den Näherungsfehler nach endlich vielen Schritten (Iterationen) dieser Annäherung, werden als Kontraktionssätze oder Fixpunktsätze bezeichnet.

DefinitionBearbeiten

  sei ein metrischer Raum. Eine Abbildung   heißt Kontraktion, wenn es eine Zahl   gibt, mit der für alle   gilt:

 .

Man nennt die Abbildung dann auch kontrahierend oder auch kontraktiv auf  .

Anders ausgedrückt: Die Abbildung   ist genau dann eine Kontraktion, wenn sie

  1. die Menge   in sich abbildet und
  2. eine Lipschitz-Bedingung mit einer Lipschitz-Konstanten   erfüllt.

Anwendung: Reeller KontraktionssatzBearbeiten

Eine kontrahierende Selbstabbildung   eines Intervalles   besitzt genau einen Fixpunkt  . Dieser kann durch die Iterationsfolge   mit einem beliebigen Startwert   berechnet werden. Für die Glieder der Iterationsfolge gilt die Fehlerabschätzung  .

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes ist der Fixpunktsatz von Banach.

BeispieleBearbeiten

  • Sei   und   eine reellwertige Funktion auf  , die auf   die Lipschitz-Bedingung mit   erfüllt. Wenn es zu dem Startpunkt   ein Intervall   gibt, auf dem   ist, dann ist die Funktion   eine kontrahierende Selbstabbildung von  . Ein Fixpunkt in   kann durch die Rekursionsfolge aus dem reellen Kontraktionssatz (s. o.) berechnet werden.
  • Eine bekannte Anwendung des reellen Kontraktionssatzes ist das Heronverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl  . Anstelle der zur Lösung vorgelegten Gleichung   löst man die Gleichung  , bestimmt also einen Fixpunkt der Funktion  . Diese Funktion ist auf dem Intervall   kontrahierend, wobei   gesetzt wird. Als Kontraktionskonstante kann   gewählt werden.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Herbert Amann, Joachim Escher: Differentialrechnung in einer Variablen. In: Analysis I. Birkhäuser Basel, 2006, ISBN 978-3-7643-7755-7, S. 315–378, doi:10.1007/978-3-7643-7756-4_4 (springer.com [abgerufen am 8. November 2022]).