Er macht eine Aussage darüber, mit welchen Funktionen man eine holomorphe Funktion stören kann, ohne dass sich die Anzahl der Nullstellen ändert. Die Version für meromorphe Funktionen macht eine ähnliche Aussage für die Differenz von Nullstellen und Polstellen.
Unter Abschwächung der Voraussetzungen gilt, dass zwei holomorphe Funktionen dieselbe Anzahl von Nullstellen innerhalb eines beschränkten Gebietes mit stetigem Rand haben, wenn auf dem Rand die strenge Dreiecksungleichung
gilt. Theodor Estermann zeigte diese allgemeinere Formulierung erstmals in seinem Buch Complex Numbers and Functions.
Anwendung: Schranken für PolynomnullstellenBearbeiten
Es sei ein Polynom mit komplexen Koeffizienten. Das Gebiet G ist die gesamte komplexe Zahlenebene. Es sei ein Index, für den die Ungleichung
für wenigstens ein erfüllt ist. Dann erfüllen die Funktionen und die Voraussetzungen des Satzes von Rouché für den Kreis . ist von Null verschieden und hat daher genau eine Nullstelle der Vielfachheit im Ursprung. Daraus folgt, dass auch genau Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) im Kreis besitzt.
Der Satz von Rouché für meromorphe FunktionenBearbeiten
Seien zwei auf dem Gebiet meromorphe Funktionen. Außerdem gelte , sowie dass keine Null- oder Polstellen auf dem Rand haben; und für alle gelte:
.
Dann stimmen für und die Differenzen
Anzahl der Nullstellen – Anzahl der Polstellen
(entsprechend der Vielfachheit bzw. Polordnung gezählt) auf überein.
Da die Kreislinie kompakt ist, gibt es sogar eine offene Umgebung dieser,
so dass die Ungleichung auch auf U erfüllt ist.
Der Bruch nimmt auf seine Werte innerhalb des Einheitskreises an, daher gilt auch:
.
Die offene Kreisscheibe ist im Definitionsbereich des Hauptastes des holomorphen Logarithmus enthalten, und es gilt: