Vorzeichenwechsel

Nulldurchgang bei math. Funktionen

Ein Vorzeichenwechsel ist in der Mathematik ein Wechsel des Vorzeichens der Funktionswerte einer reellen Funktion an einer Stelle oder innerhalb eines Intervalls. Weist eine stetige reelle Funktion in einem Intervall einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt sie nach dem Nullstellensatz dort mindestens eine Nullstelle. Eine differenzierbare reelle Funktion besitzt an einer Stelle ein Extremum, wenn ihre Ableitung dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Entsprechend besitzt eine zweimal differenzierbare reelle Funktion an einer Stelle einen Wendepunkt, wenn ihre Krümmung dort gleich null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Vorzeichenwechsel in reellen Zahlenfolgen spielen eine wichtige Rolle bei der Analyse der Nullstellen von Polynomen.

Vorzeichenwechsel an einer StelleBearbeiten

 
Vorzeichenwechsel bei stetigen Funktionen
 
Polstelle mit Vorzeichenwechsel

DefinitionBearbeiten

Eine reelle Funktion   weist an der Stelle   einen Vorzeichenwechsel auf, wenn die Funktionswerte von   dort ihr Vorzeichen ändern. Es werden die folgenden zwei Fälle unterschieden:[1]

  • Vorzeichenwechsel von plus nach minus: es existiert ein  , sodass   für alle   und   für alle   gilt
  • Vorzeichenwechsel von minus nach plus: es existiert ein  , sodass   für alle   und   für alle   gilt

Ist die Funktion   stetig, dann durchdringt der Funktionsgraph von   an der Stelle   die x-Achse. Kein Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn der Graph der Funktion die x-Achse an der Stelle   lediglich berührt. Besitzt die Funktion   an der Stelle   eine senkrechte Asymptote, so spricht man von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel.[2]

Bestimmung von ExtremaBearbeiten

In der Kurvendiskussion liefert das sogenannte Vorzeichenwechselkriterium eine hinreichende Bedingung für das Vorhandensein eines Extremums an einer Stelle. Eine differenzierbare reelle Funktion   besitzt an der Stelle   ein Extremum, wenn   ist und   an der Stelle   das Vorzeichen wechselt. Die Funktion   besitzt dann an  

  • ein lokales Maximum, wenn   das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
  • ein lokales Minimum, wenn   das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Funktion   für   streng monoton steigend und für   streng monoton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.[1]

Bestimmung von WendepunktenBearbeiten

Analog kann das Vorzeichenwechselkriterium auch zur Bestimmung von Wendepunkten eingesetzt werden. Eine zweimal differenzierbare reelle Funktion   besitzt an der Stelle   einen Wendepunkt, wenn   ist und   an der Stelle   das Vorzeichen wechselt. Das Krümmungsverhalten der Funktion   ändert sich dann an  

  • von konvex nach konkav, wenn   das Vorzeichen von plus nach minus wechselt
  • von konkav nach konvex, wenn   das Vorzeichen von minus nach plus wechselt

Im ersten Fall ist die Ableitung   für   streng monoton steigend und für   streng monoton fallend, im zweiten Fall umgekehrt.[3]

Vorzeichenwechsel in einem IntervallBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine reelle Funktion   weist in dem Intervall   einen Vorzeichenwechsel auf, wenn es zwei verschiedene Stellen   gibt, für die

 

gilt. Gilt sogar

 ,

so spricht man von einem echten Vorzeichenwechsel. Die Ungleichungsbedingung besagt, dass die Funktion   an den beiden Stellen   und   ein unterschiedliches Vorzeichen hat (oder gleich null ist).[4]

NullstellensatzBearbeiten

Weist eine stetige reelle Funktion   in dem Intervall   einen Vorzeichenwechsel auf, so besitzt diese Funktion in diesem Intervall mindestens eine Nullstelle, das heißt eine Lösung   der Gleichung

 .

Nach der Definition eines Vorzeichenwechsels existieren nämlich in dem Intervall Stellen   mit  . Nun lässt sich eine Intervallschachtelung   mit   und   konstruieren, sodass für alle  

 

gilt. Hierzu wird das Intervall   sukzessive halbiert und jeweils dasjenige Teilintervall ausgewählt, für das die Ungleichungsbedingung erhalten bleibt. Die gesuchte Nullstelle ergibt sich dann als

 .

Eine Verallgemeinerung dieser als Nullstellensatz oder Nullstellensatz von Bolzano (nach Bernard Bolzano) bekannten Aussage ist der Zwischenwertsatz.[4]

VerwendungBearbeiten

In der numerischen Mathematik werden endliche Intervallschachtelungen zur numerischen Approximation von Nullstellen verwendet. Im Bisektionsverfahren und im Regula-falsi-Verfahren werden Varianten solcher Intervallschachtelungen eingesetzt, um eine Nullstelle einer gegebenen stetigen Funktion, bei der zwei Stellen mit unterschiedlichen Vorzeichen bekannt sind, näherungsweise zu bestimmen. In der Optimierung kommen solche Intervallschachtelungsverfahren bei der Bestimmung der Minima oder Maxima einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion zum Einsatz, indem die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion näherungsweise ermittelt werden.

Vorzeichenwechsel in einer FolgeBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist   eine Folge reeller Zahlen, die alle ungleich null sind, dann ist ein Vorzeichenwechsel dieser Folge ein Indexpaar  , für das

 

gilt. Die Vorzeichenwechsel einer beliebigen Folge reeller Zahlen werden dann als die Vorzeichenwechsel der Teilfolge der von null verschiedenen Elemente dieser Folge definiert. Beispielsweise besitzt die Folge

 

genau drei Vorzeichenwechsel.[5]

VerwendungBearbeiten

Die Vorzeichenwechsel der Koeffizientenfolge eines reellen Polynoms geben Hinweise auf die Anzahl und die Verteilung der Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion. Nach der Vorzeichenregel von Descartes ist die Anzahl der positiven Nullstellen eines reellen Polynoms gleich oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als die Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge. Hierbei wird jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt.

Ein weiteres Hilfsmittel bei der Analyse der Nullstellen reeller Polynome bieten sturmsche Ketten. Ist   ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und   die Anzahl der Vorzeichenwechsel der (endlichen) Folge der Funktionswerte der sturmschen Kette von   an der Stelle  , dann ist nach der Regel von Sturm die Anzahl der Nullstellen von   in dem halboffenen Intervall   gerade gleich  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, ISBN 978-3-486-27569-8.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2. Springer, 1988, ISBN 3-519-02212-5.
  • Rolf Walter: Einführung in die Analysis, Teil 1. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019539-2.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, S. 144.
  2. Hannes Stoppel: Mathematik anschaulich: Brückenkurs mit Maple. Oldenbourg, 2002, S. 26.
  3. Wolfgang Luh, Karin Stadtmüller: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, 2004, S. 150.
  4. a b Rolf Walter: Einführung in die Analysis, Teil 1. de Gruyter, 2007, S. 138.
  5. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2. Springer, 1988, S. 112.