Notwendige und hinreichende Bedingung

Wissenschaftslogische Begriffe
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Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sind Begriffe aus der mathematischen Beweisführung, welche Bedingungen in zwei verschiedene Typen unterteilt. Die unterschiedlichen Beziehungen zwischen Bedingendem und Bedingtem werden in der Logik, vor allem in der Aussagenlogik, behandelt.

Hinreichende BedingungBearbeiten

 
Heu zu fressen, stillt den Hunger des Hamsters hinreichend, doch Heu ist für seine Sättigung nicht notwendig. Sie kann auch anders erreicht werden (z. B. mit Karotten).

Die Gültigkeit einer hinreichenden Bedingung   sorgt zwangsläufig für die Gültigkeit der Konsequenz  . Dieser Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise   ausgedrückt, sprich „die Bedingung   impliziert die Konsequenz  “ oder „aus   folgt  “. Der Pfeil, der den Zusammenhang symbolisiert, steht für die Schlussfolgerung (Implikation). Es kann andere hinreichende Bedingungen geben, die ebenfalls die Gültigkeit der Aussage   nach sich ziehen.

Aussagenlogisch betrachtet: Hat eine Aussage   mehrere hinreichende Bedingungen  , d. h. gelten die Subjunktionen  , so genügt es, dass mindestens eine erfüllt ist (logische Disjunktion), damit   gilt:  .

Notwendige BedingungBearbeiten

 
Gemahlene Bohnen sind eine notwendige Bedingung, um Kaffee zu kochen – ohne sie geht es nicht. Aber sie sind nicht hinreichend, da man zum Kochen auch Wasser benötigt..

Die Aussage   ist eine notwendige Bedingung für die Aussage  , wenn sie zwingend wahr (erfüllt) sein muss, wenn   wahr ist. Der Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise   ausgedrückt, sprich „nicht   impliziert nicht  “ oder „wenn   nicht wahr ist, dann ist auch   nicht wahr“. Es kommt also nicht vor, dass   erfüllt ist, ohne dass   gilt. Somit kann die Notwendigkeit der Bedingung   auch durch die (hinreichende) Implikation   ausgedrückt werden. Gibt es mehrere notwendige Bedingungen   für eine Aussage  , d. h. gilt  , so müssen alle gleichzeitig erfüllt sein, wenn   erfüllt ist. Also gilt dann auch   (logische Konjunktion).

Gibt es verschiedene, voneinander logisch unabhängige, notwendige Bedingungen, sodass für alle Paare von Bedingungen   mit   gilt, so kann keine für sich allein hinreichend sein, da dies dem widerspräche, dass die anderen notwendig sind. Eine notwendige Bedingung ist also unersetzlich für das Eintreten eines Ereignisses. Wenn sie aber nicht zugleich hinreichend ist, genügt sie allein nicht, damit das Ereignis eintritt. Mit anderen Worten: Ohne sie geht es nicht (daher auch der Ausdruck lateinisch conditio sine qua non, siehe auch Conditio-sine-qua-non-Formel), für das Eintreten von   ist aber eventuell noch etwas anderes nötig.

Äquivalente AussagenBearbeiten

Falls eine Aussage   sowohl eine hinreichende als auch eine notwendige Bedingung für die Aussage   ist, d. h.   impliziert   und   impliziert  , werden die Aussagen   und   äquivalent genannt. Aussagenlogisch ist dafür das Kürzel iffengl. if and only if üblich; deutschsprachige Entsprechungen sind g. d. w., abgekürzt für genau dann, wenn und dann und nur dann. Dass die Notwendigkeit von   auch durch die Implikation   ausgedrückt werden kann, erklärt die symbolische Darstellung   für die Äquivalenz von   und  .

INUS-BedingungBearbeiten

Die INUS-Bedingung des australischen Philosophen John Leslie Mackie stellt ein geschachteltes Konzept dar: Gemeint ist ein nicht hinreichender, aber notwendiger Teil einer nicht notwendigen, aber hinreichenden Bedingung. Dieses Konzept soll insbesondere der Erkenntnis gerecht werden, dass selten äquivalente Bedingungen für empirische Ereignisse ausgemacht werden können, selbst unter ceteris paribus-Klauseln.

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: notwendig – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: hinreichend – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen