Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen.

Definition und GeltungsbereichBearbeiten

Die Ableitung der Funktion   ist  . Dies gilt für   und  .

Beispielsweise hat die Funktion   die Ableitung  .

Die Potenzregel gilt für   nur für  , da an der Stelle 0 der Ausdruck   auftreten würde, dessen Definition nicht eindeutig ist.

Die Potenzregel gilt für   nur für  , da sonst eine Division durch 0 aufträte.

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen  , wenn der Exponent (Hochzahl)   keine ganze Zahl ist, dann aber nur im Bereich  [1]:

 

HerleitungBearbeiten

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche ZahlBearbeiten

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

 .

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

 

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

 
 
 .

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger ExponentBearbeiten

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion:   und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion[2] ab:

 

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

 

Indem man dies einsetzt und für   wieder   schreibt, erhält man

 

Diese Herleitung gilt nur für  . Für   ist die Funktion   aber auch an der Stelle   differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle  . Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotienten:

 

Mehrfache Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem ExponentenBearbeiten

(Zur Schreibweise des Folgenden siehe Leibniz-Notation.) Innerhalb des Definitionsbereichs einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten   ist deren  -fache Ableitung...

  • ...für  .
Beweis  

Die Behauptung lässt sich für   mit vollständiger Induktion beweisen.


Induktionsanfang für   (wahr)

Induktionsvoraussetzung:  

Induktionsbehauptung:  


Induktionsschritt:

 

Die  -te Ableitung ist die Ableitung der  -ten Ableitung:

 

mit der Induktionsvoraussetzung:

 

 

 , q. e. d.

Für manche Anwendungen ist praktisch, eine Funktion als  -te Ableitung ihrer selbst zu definieren. Wie leicht zu sehen ist, gilt dann die Regel für   ebenfalls.
Für   ist insbesondere  
  • ...für  
Dies folgt direkt aus  , denn die Ableitung einer beliebigen konstanten Funktion ist die Nullfunktion; letzteres gilt auch für die Nullfunktion selbst.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.9)
  2. Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.16)