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In der Funktionentheorie ist eine ganze Funktion eine Funktion, die in der gesamten komplexen Zahlenebene holomorph (also analytisch) ist. Typische Beispiele ganzer Funktionen sind Polynome oder die Exponentialfunktion sowie Summen, Produkte und Verknüpfungen davon, etwa die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen.

EigenschaftenBearbeiten

Jede ganze Funktion kann als eine überall konvergierende Potenzreihe um ein beliebiges Zentrum dargestellt werden. Weder der Logarithmus noch die Wurzelfunktion sind ganz.

Eine ganze Funktion kann eine isolierte Singularität, insbesondere sogar eine wesentliche Singularität im komplexen Punkt im Unendlichen (und nur da) besitzen.

Eine wichtige Eigenschaft ganzer Funktionen ist der Satz von Liouville: Ist eine ganze Funktion beschränkt, so muss sie konstant sein, womit man recht elegant den Fundamentalsatz der Algebra beweisen kann. Der kleine Satz von Picard ist eine beträchtliche Verschärfung des Satzes von Liouville: Eine nichtkonstante ganze Funktion nimmt alle Werte der komplexen Zahlenebene an, bis auf möglicherweise einen. Letztere Ausnahme illustriert beispielsweise die Exponentialfunktion, die nie den Wert 0 annimmt.

Weitere BeispieleBearbeiten

 
Die Airy-Funktion   (hier der Realteil) ist eine ganze Funktion.
  • der Kehrwert der Gammafunktion  
  • die Fehlerfunktion  
  • der Integralsinus  
  • die Airy-Funktionen   und  
  • die Fresnelschen Integrale   und  
  • die Riemannsche Xi-Funktion  
  • die Besselfunktionen erster Art   für ganzzahlige  
  • die Struve-Funktionen   für ganzzahlige  
  • der größte gemeinsame Teiler bezüglich einer natürlichen Zahl   in der verallgemeinerten Form[1]
    •   (Ramanujansumme)

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2004
  • Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992
  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Schramm: The Fourier transform of functions of the greatest common divisor. In: Integers – The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 8, 2008, A50 (Abstract)