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Orthodrome

kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche
Orthodrome auf der Erdkugel zwischen Los Angeles und London
Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Luftfahrt fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu können. Die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung ist Luftlinie.

BerechnungBearbeiten

Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der sphärischen Trigonometrie.

Verwendete Variablen Bedeutung
  Geographische Breite
  Geographische Länge
  Anfangspunkt
  Endpunkt
  Nördlichster Punkt der Orthodrome
  Kurswinkel bei A
  Kurswinkel bei B
  Zentriwinkel (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)

Dabei ist   in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv;   ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

StreckeBearbeiten

Als Winkel lässt sich die Strecke folgendermaßen angeben:

 

Um die Distanz zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss   noch mit dem Erdradius (rund 6.370 km) multipliziert werden (für   im Bogenmaß; falls   in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit  ° multipliziert werden).

Der Winkel   kann über das Skalarprodukt der Ortsvektoren von   und   berechnet werden. Die obige Formel ergibt sich dann durch Umformungen mit Hilfe geometrischer Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Alternativ kann die Formel hergeleitet werden, indem der Seiten-Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie auf das aus den Punkten   und   und dem Nordpol gebildete Dreieck angewendet wird.

Kurswinkel und rechtweisende KurseBearbeiten

Kurswinkel
 
 

Die beiden Parameter   und   lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden   bzw.   und   bzw.   bestimmen:

 
 
rechtweisende Kurse A → B
 
 
rechtweisende Kurse B → A
 
 

Nördlichster PunktBearbeiten

 
In einer gnomonischen Projektion werden Orthodromen stets als gerade Strecke abgebildet

Berechnung des nördlichsten Punkts einer Orthodrome für einen Anfangspunkt A und einen Anfangs-Kurswinkel α:

 
 

Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–TokioBearbeiten

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:

  • Berlin
    • 52° 31' 0" N = 52,517°
    • 13° 24' 0" E = 13,40°
  • Tokio
    • 35° 42' 0" N = 35,70°
    • 139° 46' 0" E = 139,767°

WinkelberechnungBearbeiten

 
 
 
 
 
bzw.   im Bogenmaß

StreckenberechnungBearbeiten

Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6.370 km ausgegangen.

 

Oder für   im Bogenmaß:

 

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Sie unterscheiden sich nur deshalb um 6 km, weil aus dem gerundeten Erdradius 6.370 km ein Umfang der Erdkugel von knapp 40.024 km statt 40.000 km folgt. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des WGS84-Referenzellipsoids zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der ErdeBearbeiten

Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch Thaddeus Vincenty. Dabei wird keine Kugel, sondern das WGS84-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen Referenzellipsoids verwendet werden, müssen die Parameter   (Radius) und   (Abplattung) angepasst werden.

Seien   und   die geografische Breite und Länge von Standort A,   und   die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde:  

Äquatorradius der Erde:  

 ,  ,  

Zunächst wird der grobe Abstand D ermittelt:

 
 
 
 

Dabei ist   im Bogenmaß einzusetzen.

Der Abstand   wird durch die Faktoren   und   korrigiert:

 
 
 

Der Abstand   in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

 

Berechnungsbeispiel Berlin – TokioBearbeiten

 

Der Abstand   ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.

LoxodromeBearbeiten

 
Gegenüberstellung von Loxodrome (rot) und Orthodrome (blau)
 
Loxodromeverlängerung relativ zur Orthodrome entlang des 50. Breitengrades in Prozent.

Bei der Navigation von Punkt A nach B mit einem Kompass eignet sich die Loxodrome besser, da sie die Meridiane immer im gleichen Winkel kreuzt, man also den einmal eingestellten (Kompass)kurs einfach beibehalten kann. Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis, der dann über den Pol verläuft.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

QuellenBearbeiten

Formel zur genaueren Abstandsberechnung: