Windschiefe

Geraden, die weder parallel zueinander sind noch sich schneiden

In der Geometrie nennt man zwei Geraden windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind.[1] Dies ist im zweidimensionalen Raum nicht möglich, da hier alle denkbaren Geraden in der gleichen Ebene liegen und sich schneiden oder parallel sind. Windschiefe Geraden gibt es daher nur in mindestens dreidimensionalen Räumen.

Darstellung zweier windschiefer Geraden
Räumliches Bild zweier windschiefer Geraden mit Gemeinlot

Zum Nachweis, dass zwei Geraden und windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von , ein Richtungsvektor von und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf zu einem Punkt auf linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstandes zweier windschiefer GeradenBearbeiten

 
Abstand d zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden   und   verbindet, nennt man Gemeinlot der beiden Geraden. Die Gerade, auf der das Gemeinlot liegt, nennt man die Minimaltransversale der beiden Geraden. Diese ist diejenige eindeutig bestimmte Gerade, welche im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Die Länge des Gemeinlots von   und   ist der Abstand   der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden   und   mit den Stützpunkten   und   bzw. den Stützvektoren   und den Richtungsvektoren   und  . Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

 
 ,

wobei   gilt und die drei Vektoren   linear unabhängig sein müssen.

Der Normalenvektor  , der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren   und   steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen:

  und auf die Länge 1 bringen:  .

Die Berechnung des Abstandes ist möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann

 .

Schreibweise mit DeterminantenBearbeiten

Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben

 
 .

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden mit Hilfe der Determinante det beträgt dann

 .

Bestimmung der LotfußpunkteBearbeiten

 
Zeichnung zur Bestimmung der Lotfußpunkte

Den Lotfußpunkt   erhält man, indem man eine Hilfsebene   aufstellt. Der Punkt   liegt auf der Hilfsebene,   und   spannen die Hilfsebene auf.

 ,

wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch

 .

Der Schnittpunkt von   und   ergibt den Lotfußpunkt  :

  mit  

Analog erhält man   mit der Ebene   und ihrem Schnittpunkt mit  :

  mit  

Bei dieser Methode muss der Abstand   nicht berechnet werden.

Die Lotfußpunkte können auch so bestimmt werden, dass man die beiden (vorerst unbekannten) Punkte ansetzt:

  und  

und dann einen entlang   verschiebt und ihn mit dem anderen zur Deckung bringt:

 .

Eine zeilenweise Auflösung ergibt ein System mit drei Variablen:  ,   und  . Die Fußpunkte sind dann:

  und  .

Der Abstand   ergibt sich aus  

BemerkungBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • M. Jeger, B. Eckmann: Einführung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra für Ingenieure und Naturwissenschafter. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1967.
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
  • Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-594-10826-0
  • Elisabeth und Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie. Oldenbourg-Verlag, München 1997, ISBN 3-486-03500-2

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Windschiefe Geraden – Weitere Methoden zur Berechnung des Abstands und der Lotfußpunkte
Wiktionary: windschief – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Meyers Rechenduden, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1960, S. 807
  2. Abschnitt 3.3.1.1 Zwei Geraden in der Google-Bücher-Suche für das Taschenbuch der Mathematik