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Definition des Teilverhältnisses und Spezialfälle

Unter dem Teilverhältnis versteht man in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilstrecken einer gegebenen Strecke. Wird z. B. die Strecke durch einen Punkt in zwei Teilstrecken und geteilt (s. erstes Beispiel), so ist die Zahl das zugehörige Teilverhältnis. Man könnte allerdings auch den Kehrwert, der durch Vertauschen von und entsteht, als Teilverhältnis erklären. Beim Umgang mit Teilverhältnissen ist also unbedingt auf die Bezeichnung der Punkte zu achten.

Die große Bedeutung erhält das Teilverhältnis durch die Verallgemeinerung auf beliebige Teilpunkte auf der Geraden durch .

Die große Bedeutung des Teilverhältnisses liegt in seiner Invarianz unter affinen Abbildungen (lineare Abbildungen und Translationen) und Parallelprojektionen. Bei projektiven Abbildungen und Zentralprojektionen bleibt das Teilverhältnis im Allgemeinen nicht invariant, aber das sogenannte Doppelverhältnis.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

In der Literatur findet man die folgende Definition für drei Punkte in der euklidischen Ebene:

Für drei verschiedene kollineare Punkte   nennt man die Zahl   mit der Eigenschaft
 
das Teilverhältnis, in dem der Punkt   das Punktepaar   teilt, und bezeichnet sie mit   oder  .

Der Fall   lässt sich mit einbeziehen und liefert  . Das Teilverhältnis kann jede reelle Zahl außer −1 annehmen (s. u.).

Das Wort „teilt“ darf man nach der Ausdehnung auf beliebige Punkte   nicht zu wörtlich nehmen, denn nur, wenn   zwischen   liegt, teilt   die Strecke  .

Es gilt:

  • Liegt   zwischen   und  , so ist   und man spricht von einer inneren Teilung.
  • Liegt   außerhalb, so ist   und man spricht von einer äußeren Teilung. Falls   außerhalb auf der Seite von   liegt, so ist  . Falls   auf der Seite von   liegt, gilt  .
  • Nähert sich   von innen   an, so strebt   gegen  , im anderen Fall (von außen) geht   gegen  .
  • Falls   der Mittelpunkt der Strecke   ist, ergibt sich  .

Man beachte, dass eine Vertauschung von   das Teilverhältnis verändert (invertiert), außer im Fall, dass   der Mittelpunkt der Strecke ist.

Berechnung des Teilverhältnisses bzw. des TeilpunktesBearbeiten

 
Vektoren zur Berechnung des Teilverhältnisses
 
Teilverhältnis in Abhängigkeit vom Parameter t:  

Der Punkt   der Geraden durch die Punkte   und   lässt sich durch

  •   mit einem Parameter   beschreiben.

Aus   und   ergibt sich die Gleichung   und schließlich

  •  .

Löst man die letzte Gleichung nach t auf, so erhält man

  •   und damit zu vorgegebenem Teilverhältnis   den Teilpunkt   mit
  •  

Für   ist   und   der Mittelpunkt der Strecke  .

Bemerkung:
Falls die Punkte   durch ihre Parameter   bezüglich einer Parameterdarstellung   der zugrunde liegenden Gerade gegeben sind, ergibt sich für ihr Teilverhältnis

  •   und für die Umkehrung  .

Zeichnerisches Ermitteln des TeilpunktsBearbeiten

 
Teilung von A, B im Verhältnis   (T, innen) bzw.   (S,außen)

Um den Teilpunkt zu finden, verwendet man eine Konstruktion nach dem zweiten Strahlensatz: Soll die Strecke [AB] im Verhältnis m:n geteilt werden, so zeichnet man durch A und durch B zwei parallele Geraden. Auf der Parallelen durch A trägt man m-mal, auf der Parallelen durch B n-mal die gleiche Strecke ab. Bei innerer Teilung muss das Abtragen in verschiedener Richtung, bei äußerer Teilung in gleicher Richtung erfolgen. Man zeichnet die Gerade durch die Endpunkte der abgetragenen Strecken. Ihr Schnittpunkt mit der Geraden AB ist der gesuchte Teilpunkt (S bzw. T).

Invarianz des TeilverhältnissesBearbeiten

Eine beliebige affine Abbildung der reellen Koordinatenebene lässt sich folgendermaßen darstellen:

  •  , wobei   eine lineare Abbildung ist.

Also wird   auf

  abgebildet. Hieraus ergibt sich
  •  , die Invarianz des Teilverhältnisses.

Eine Parallelprojektion lässt sich als affine Abbildung oder, bei geeigneter Koordinatisierung, sogar als lineare Abbildung darstellen (siehe Ellipse (Darstellende Geometrie)). Also ist das Teilverhältnis auch bei Parallelprojektion invariant.

VerallgemeinerungBearbeiten

Da zur Definition des Teilverhältnisses nur Zahlen und Vektoren verwendet wurden, lässt sie sich wörtlich auf eine affine Koordinaten-Ebene über einem beliebigen Körper ausdehnen.( Die reellen Zahlen werden als Koordinatenbereich einfach durch einen beliebigen Körper ersetzt.) Allerdings gelten die obigen Aussagen, die typische Eigenschaften der reellen Zahlen (" " und " ") verwenden, nicht mehr. Die Invarianz des Teilverhältnisses gilt auch in diesem allgemeinen Fall.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • dtv-Atlas zur Mathematik, Band 1, 1978, ISBN 3-423-03007-0, S. 157
  • Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie,ISBN 978-3-8274-3026-7, S. 159
  • Hermann Schaal, Ekkehart Glässner: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band 1, 255 Seiten, Vieweg; Braunschweig, Wiesbaden 1976, ISBN 3-528-03056-9
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8