Paraboloid

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Ein Paraboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung (Quadrik) und wird in den einfachsten Fällen durch eine Gleichung beschrieben:

  • für elliptisches Paraboloid
  • für ein hyperbolisches Paraboloid
Elliptisches Paraboloid
Hyperbolisches Paraboloid

Elliptische Paraboloide begegnen einem beispielsweise als Oberflächen von Satellitenschüsseln und als Energieentwertungsdiagramme[1] beim Stoß rauer Starrkörper.
Hyperbolische Paraboloide sind Sattelflächen. Sie enthalten Geraden und werden deswegen von Architekten und Bauingenieuren als leicht modellierbare Dachformen (hyperbolische Paraboloidschalen) verwendet[2].

Anhand der Gleichungen erkennt man, dass beide Flächen viele Parabeln enthalten, was zur Namensgebung beigetragen hat:

ist eine Rotationsfläche. entsteht durch Rotation der Parabel in der x-z-Ebene mit der Gleichung um die z-Achse.
ist keine Rotationsfläche. Aber auch bei ist bis auf zwei Ausnahmen jeder Schnitt mit einer Ebene durch die z-Achse eine Parabel. Z. B. ist der Schnitt mit der Ebene (y-z-Ebene) die Parabel .
Beide Flächen lassen sich als Schiebflächen auffassen und lassen sich durch verschieben einer Parabel entlang einer zweiten Parabel erzeugen.

Allerdings gibt es auch wesentliche Unterschiede:

  • besitzt als Höhenschnitte Kreise (für konstantes ). Im allgemeinen Fall sind es Ellipsen (siehe unten), was sich im Namenszusatz widerspiegelt,
  • besitzt als Höhenschnitte Hyperbeln oder Geraden (für ), was den Zusatz hyperbolisch rechtfertigt.

Ein hyperbolisches Paraboloid ist nicht mit einem Hyperboloid zu verwechseln.

EigenschaftenBearbeiten

Elliptisches ParaboloidBearbeiten

Das elliptische Paraboloid ergibt sich durch Rotation des Graphen der Funktion   um die  -Achse. Für die Ableitung gilt  . Das Volumen und die Oberfläche für ein elliptische Paraboloid mit der Höhe   ergeben sich nach den Guldinschen Regeln mithilfe von Integralen.

 
Rotationsparaboloid mit Parabeln und Höhenkreisen

VolumenBearbeiten

 

OberflächeBearbeiten

 

TangentialebenenBearbeiten

Die Tangentialebene in einem Flächenpunkt   an den Graphen einer differenzierbaren Funktion   hat die Gleichung

 .

Für   ergibt sich für die Gleichung der Tangentialebene im Punkt  

 .

Ebene SchnitteBearbeiten

Das elliptische Paraboloid   ist eine Rotationsfläche und entsteht durch Rotation der Parabel   um die  -Achse. Ein ebener Schnitt von   ist:

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur  -Achse) ist.
  • eine Ellipse oder ein Punkt oder leer, falls die Ebene nicht senkrecht ist. Eine horizontale Ebene schneidet   in einem Kreis.
  • ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist.

Affine BilderBearbeiten

 
Parabolantennen zur Satellitenkommunikation haben die Form eines elliptischen Paraboloids.

Ein beliebiges elliptisches Paraboloid ist ein affines Bild von  . Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die Paraboloide mit den Gleichungen

 .

  besitzt immer noch die Eigenschaft, dass es von einer senkrechten Ebene in einer Parabel geschnitten wird. Eine horizontale Ebene schneidet allerdings hier in einer Ellipse, falls   gilt. Dass ein beliebiges elliptisches Paraboloid auch immer Kreise enthält, wird in Kreisschnittebene gezeigt.

  ist

  • symmetrisch zu den  - bzw.  -Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur  -Achse, d. h.   lässt   invariant.
  • rotationssymmetrisch, falls   ist.
 
Rotierendes Wasserglas

Bemerkung:

  1. Ein Rotationsparaboloid (d. h.  ) hat als Parabolspiegel große technische Bedeutung, da alle Parabeln mit der Rotationsachse als Achse denselben Brennpunkt besitzen.
  2. Wenn man ein mit Wasser gefülltes Glas mit konstanter Drehgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse rotieren lässt, dreht sich das Wasser nach einer Weile mit dem Glas mit. Seine Oberfläche bildet dann ein Rotationsparaboloid.
  3. Ein elliptisches Paraboloid wird oft kurz Paraboloid genannt.

Homogene KoordinatenBearbeiten

Führt man homogene Koordinaten so ein, dass die Fernebene durch die Gleichung   beschrieben wird, muss man   setzen. Nach Beseitigung des Nenners erhält man die homogene Beschreibung von   durch die Gleichung:

 .

Der Schnitt des Paraboloids mit der Fernebene   ist der Punkt  .

Die Koordinatentransformation   liefert die Gleichung

 .

In den neuen Koordinaten schneidet die Ebene   das Paraboloid nicht.

Führt man jetzt wieder affine Koordinaten durch   ein, erhält man die Gleichung der Einheitskugel:

 

Dies zeigt: Ein elliptisches Paraboloid ist projektiv äquivalent zu einer Kugel.

Hyperbolisches ParaboloidBearbeiten

 
hyperbolisches Paraboloid mit Parabeln und Geraden als Schnittkurven
 
hyperbolisches Paraboloid im kartesischen Koordinatensystem

TangentialebenenBearbeiten

Für   ist die Gleichung der Tangentialebene (siehe oben) im Punkt  

 .

Ebene SchnitteBearbeiten

  ist im Gegensatz zu   keine Rotationsfläche. Aber wie bei   sind bei   auch fast alle senkrechten ebenen Schnitte Parabeln:

Der Schnitt einer Ebene mit   ist

  • eine Parabel, falls die Ebene senkrecht (parallel zur  -Achse) ist und eine Gleichung   hat.
  • eine Gerade, falls die Ebene senkrecht ist und eine Gleichung   hat.
  • ein sich schneidendes Geradenpaar, falls die Ebene eine Tangentialebene ist (siehe Abbildung).
  • eine Hyperbel, falls die Ebene nicht senkrecht und keine Tangentialebene ist (siehe Abbildung).

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  1. Die Schnittparabeln mit Ebenen parallel zur  - oder  -Ebene sind alle kongruent zur Normparabel  .
  2.   ist eine Schiebfläche.   entsteht durch Verschiebung der Parabel   mit ihrem Scheitel entlang der Parabel  .
  3. Eine nicht senkrechte Ebene, die eine Gerade enthält, enthält immer auch eine zweite Gerade und ist eine Tangentialebene.
  4. Da die Fläche   Geraden enthält, ist sie eine Regelfläche.
  5.   ist ein Konoid.
  6. Ein hyperbolisches Paraboloid enthält zwar Geraden (ebenso wie Zylinder und Kegel), ist aber nicht abwickelbar, da die Gaußsche Krümmung in jedem Punkt ungleich 0 ist. Die Gaußsche Krümmung ist überall kleiner als 0. Bei einer Kugel ist die Gaußsche Krümmung überall größer als 0. Damit ist ein hyperbolisches Paraboloid eine Sattelfläche.
  7. Durch eine Drehung des Koordinatensystems um die  -Achse um 45 Grad geht die Gleichung   in die einfachere Gleichung   über.
 
hyperbolisches Paraboloid mit Hyperbeln als Höhenschnitte
 
Bahnhof von Warszawa Ochota, Beispiel eines hyperbolischen Paraboloids als Dach

Affine BilderBearbeiten

Ein beliebiges hyperbolisches Paraboloid ist ein affines Bild von  . Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinatenachsen. Sie liefern die hyperbolischen Paraboloide mit den Gleichungen

 .

  ist

  • symmetrisch zu den  - bzw.  -Koordinatenebenen.
  • symmetrisch zur  -Achse, d. h.   lässt   invariant.

Bemerkung:
Hyperbolische Paraboloide werden von Architekten zur Konstruktion von Dächern verwendet (siehe Abbildung), da sie leicht mit Geraden (Balken) modelliert werden können.

Interpolationsfläche von 4 PunktenBearbeiten

 
hyperbolisches Paraboloid als Interpolationsfläche von 4 Punkten

Ein hyperbolisches Paraboloid lässt sich auch als bilineare Interpolationsfläche von vier nicht in einer Ebene liegenden Punkten   auffassen[3]:

  •  
 .

Das Netz der Parameterlinien besteht aus Geraden.

Für das in der Abbildung dargestellte Beispiel ist  . Das dadurch beschriebene hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung  .

Siehe hierzu auch die Darstellung in baryzentrischen Koordinaten.

Homogene KoordinatenBearbeiten

Führt man wie bei   homogene Koordinaten ein, erhält man die Beschreibung des hyperbolischen Paraboloids   durch die Gleichung:

 .

Der Schnitt des Paraboloids mit der Fernebene   besteht aus den beiden Geraden  , die sich in dem Punkt   schneiden.

Die Koordinatentransformation   liefert die Gleichung

 .

Die Fernebene   schneidet das Paraboloid in einem Kreis.

Geht man wieder zu affinen Koordinaten über, erhält man die Gleichung

 

eines einschaligen Hyperboloids.

Das hyperbolische Paraboloid ist also projektiv äquivalent zu einem einschaligen Hyperboloid.

Grenzfläche zwischen Scharen von elliptischen und hyperbolischen ParaboloidenBearbeiten

 
elliptisches Paraboloid, parabolischer Zylinder (Grenzfläche), hyperbolisches Paraboloid

Lässt man in den Gleichungen

  (Schar von elliptischen Paraboloiden)

und

  (Schar von hyperbolischen Paraboloiden)

den Parameter   gegen   laufen, so erhält man die Gleichung der gemeinsamen Grenzfläche

 .

Dies ist die Gleichung eines parabolischen Zylinders mit einer Parabel als Querschnitt (siehe Abbildung).

 
Stapelchips ähneln in ihrer Form einem hyperbolischen Paraboloid, um die Stabilität zu erhöhen.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. K.-E. Kurrer: Zur Darstellung der Energietransformation beim ebenen gekoppelten Reibungsstoß mit Hilfe des Energieentwertungsdiagramms. In: Cassius Alexandru, Günter Gödert, Uwe Görn, Roland Parchem und Joachim Villwock (Hrsg.): Beiträge zur Mechanik. Festschrift zum 65. Geburtstag von Prof. Dr. Rudolf Trostel. Universitätsbibliothek der TU Berlin, Abt. Publikation, Berlin 1993, ISBN 3-7983-1581-7, S. 148–169.
  2. K.-E. Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Ernst & Sohn, Berlin 2018, S. 743–747, ISBN 978-3-433-03229-9
  3. G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 250

WeblinksBearbeiten

Commons: Paraboloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien