Rotationshyperboloid

Das einschalige Rotationshyperboloid ist eine Fläche zweiter Ordnung, die man sich durch Rotation einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Gerade (Achse) entstanden vorstellen kann. Es ist ein Spezialfall des einschaligen Hyperboloids. Seine gaußsche Krümmung ist in jedem Punkt negativ; es handelt sich also um eine antiklastisch gekrümmte Fläche.

Rotationshyperboloid
Mae West mit Tram

Man beachte: Es gibt auch ein zweischaliges Rotationshyperboloid (siehe Hyperboloid).

AnwendungBearbeiten

Die Form des Rotationshyperboloids wird unter anderem im Bauwesen bei Hyperboloidkonstruktionen angewendet. Den ersten Turm der Welt in dieser Form baute Wladimir Schuchow für die Allrussische Industrie- und Handwerksausstellung 1896.

Der Architekt Antoni Gaudí verwendete die Form als gestalterisches Konstruktionsprinzip. Auch das Kunstwerk Mae West in München ist ein 52 Meter hoher Rotationshyperboloid aus CFK.

GleichungBearbeiten

Die Gleichung für das einschalige Rotationshyperboloid mit kreisförmigem Querschnitt ergibt sich aus der Gleichung

 

eines einschaligen Hyperboloids mit allgemein elliptischem Querschnitt durch Setzen von  :

 

Ein Schnitt mit einer horizontalen Ebene   ist immer ein Kreis. Der kleinste Kreis ergibt sich für  . Er hat den Radius  . Dieses Hyperboloid lässt sich durch Rotation der Hyperbel in der x-z-Ebene mit der Gleichung   um die z-Achse erzeugen.

Nachfolgend ist diese Parametrisierung angegeben, wobei der Parameter   dem Azimut-Winkel entspricht, welcher z. B. auch bei Kugel- oder Zylinderkoordinaten Verwendung findet.

 
 
Erzeugung eines einschaligen Rotationshyperboloids durch Rotation einer Gerade (rot)

Eine für die Anwendung geeignetere Erzeugung lässt eine zur z-Achse windschiefe Gerade (Stange) um die z-Achse rotieren:

Die Gerade mit der Parametergleichung

 

ist parallel zur y-z-Ebene, hat den Abstand   zur z-Achse und den Steigungswinkel   gegenüber der x-y-Ebene (siehe Bild).

Lässt man diese Gerade um die z-Achse rotieren, erhält man eine Fläche mit der Parametergleichung

 .

Man rechnet nach, dass im Fall   die Koordinaten der Flächenpunkte die obige Gleichung eines Rotationshyperboloids mit   erfüllt. Außerdem erkennt man: die Gerade mit dem Steigungswinkel   erzeugt dasselbe Hyperboloid (s. Bild). Durch jeden Punkt des Hyperboloids gehen also zwei Geraden (Stangen), was die Stabilität eines Modells erheblich steigert.
(Im Fall   liegt die Gerade in der x-y-Ebene und überstreicht das Äußere des Kreises mit der Gleichung  . Falls   ist, entsteht ein Zylinder mit Radius  .)

LiteraturBearbeiten

  • Rotationshyperboloid. In: Klaus-Jürgen Schneider, Rüdiger Wormuth (Hrsg.): Baulexikon. Erläuterung wichtiger Begriffe des Bauwesens. 2., erweiterte Auflage. Bauwerk u. a., Berlin 2009, ISBN 978-3-89932-159-3.