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Regelfläche: Definition

In der Geometrie heißt eine Fläche Regelfläche, wenn gilt

  • durch jeden Punkt der Fläche geht eine Gerade, die ganz in der Fläche enthalten ist.

Einfache Beispiele sind Ebenen, Zylinder, Kegel und einschalige Hyperboloide. Bei einem einschaligen Hyperboloid gehen durch jeden Punkt sogar zwei Geraden. Allerdings gilt: Eine Regelfläche, bei der durch jeden Punkt drei Geraden gehen, kann nur eine Ebene sein.[1]

Bei konkreten Regelflächen beschränkt man oft die Erzeugenden auf Strecken, um eine unendliche Ausdehnung (z. B. bei Zylindern oder Kegeln) oder Selbstdurchdingungen (z. B. bei Regelschraubflächen) zu vermeiden.

Im Begriff Regelfläche hat Regel – wie auch in Kippregel – die ursprüngliche Bedeutung des lateinischen regula (Stab, Lineal),[2] die heute noch im englischen rule oder dem französischen règle enthalten ist.

Regelflächen finden in der Architektur als leicht modellierbare Flächen Anwendung. Z. B. hat ein Kühlturm oft die Form eines einschaligen Hyperboloids. Im Metallgewerbe werden abwickelbare Regelflächen, wie z. B. Zylinder und Kegel, verwendet. (Das einschalige Hyperboloid ist nicht abwickelbar!) Abwickelbare Flächen haben den praktischen Vorteil, dass man sie aus ihren Abwicklungen aus Blech durch Aufwickeln herstellen kann (s. Abwicklung (Darstellende Geometrie)). Bei der geometrischen Modellierung werden Regelflächen z. B. zur Erzeugung von Coons-Flächen verwendet.

Definition und ParameterdarstellungBearbeiten

 
Regelfläche erzeugt mit zwei Bezierkurven als Leitkurven (rot, grün)

Definition

Parameterdarstellung Eine Regelfläche lässt sich durch eine Parameterdarstellung der Form

  • (CR)  

beschreiben. Jede Flächenkurve   mit festem Parameter   ist eine Erzeugende (Gerade) und die Kurve   ist die Leitkurve. Die Vektoren   beschreiben das Richtungsfeld der Erzeugenden.

Die durch die Parameterdarstellung * beschriebene Regelfläche, kann man auch mit Hilfe der Kurve   als zweite Leitkurve beschreiben:

  • (CD)  

Umgekehrt kann man von zwei sich nicht schneidenden Kurven als Leitkurven ausgehen und erhält damit die Darstellung einer Regelfläche mit dem Richtungsfeld  

Bei der Erzeugung einer Regelfläche mit Hilfe zweier Leitkurven (oder einer Leitkurve und eines Richtungsfeldes) ist nicht nur die geometrische Gestalt dieser Kurven von Bedeutung, sondern die konkrete Parameterdarstellung hat wesentlichen Einfluss auf die Gestalt der Regelfläche. Siehe Beispiele d)

Für theoretische Untersuchungen (s. u.) ist die Darstellung (CR) vorteilhaft, da der Parameter   nur in einem Term vorkommt.

BeispieleBearbeiten

 
Regelflächen: Zylinder, Kegel

a) Senkrechter Kreiszylinder  :

 
 
 

Hierbei ist  

b) Senkrechter Kreiskegel  :

 
 

Hier ist  
Man hätte auch als Leitkurve  , also die Spitze des Kegels, und als Richtungsfeld   wählen können. Bei allen Kegeln kann man als Leitkurve die Spitze wählen.

 
Wendelfläche als Regelfläche

c) Wendelfläche:

 
 
 

Die Leitkurve   ist die z-Achse, das Richtungsfeld   und die zweite Leitkurve   ist eine Schraublinie.

 
Regelfläche: einschaliges Hyperboloid für  

d) Zylinder, Kegel und Hyperboloide:
Die Parameterdarstellung

 

besitzt zwei horizontale Einheitskreise als Leitkurven. Der zusätzliche Parameter   erlaubt es, die Parametrdarstellungen der Kreise zu variieren. Für

  erhält man den Zylinder  , für
  erhält man den Kegel   und für
  erhält man ein einschaliges Hyperboloid mit der Gleichung   und den Halbachsen  .
 
Hyperbolisches Paraboloid

e) Hyperbolisches Paraboloid:

Falls die Leitlinien in (CD) die Geraden

 

sind, erhält man

 .

Dies ist das hyperbolische Paraboloid, das die 4 Punkte   bilinear interpoliert.[3] Für das Beispiel der Zeichnung ist

 .

und das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung  .

 
Möbiusband

f) Möbiusband:

Die Regelfläche

 

mit

  (die Leitkurve ist ein Kreis),
 

enthält ein Möbiusband.

Die Zeichnung zeigt das Möbiusband für  .

Man rechnet leicht nach, dass   ist (s. nächsten Abschnitt). D. h. diese Realisierung eines Möbiusbandes ist nicht abwickelbar. Es gibt allerdings auch abwickelbare Möbiusbänder.[4]

Tangentialebenen, abwickelbare FlächenBearbeiten

Für die hier notwendigen Ableitungen wird stets vorausgesetzt, dass sie auch existieren.

Um den Normalenvektor in einem Punkt zu berechnen, benötigt man die partiellen Ableitungen der Darstellung   :

  , 
  •  

Da das Skalarprodukt   ist (Ein Spatprodukt mit zwei gleichen Vektoren ist immer 0!), ist   ein Tangentenvektor in jedem Punkt  . Die Tangentialebenen entlang dieser Gerade sind identisch, falls   ein Vielfaches von   ist. Dies ist nur möglich, wenn die drei Vektoren   in einer Ebene liegen, d. h. linear abhängig sind. Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren kann man mit Hilfe der Determinante dieser Vektoren feststellen:

  • Die Tangentialebenen entlang der Gerade   sind gleich, falls
 
Eine Erzeugende, für die dies gilt heißt torsal.
  • Eine Regelfläche   ist genu dann in eine Ebene abwickelbar, wenn für alle Punkte die Gauß-Krümmung verschwindet. Dies ist genau dann der Fall, wenn
 
in jedem Punkt gilt,[5] d. h., wenn jede Erzeugende eine Torsale ist. Eine abwickelbare Fläche heißt deswegen auch Torse.

Eigenschaften einer abwickelbaren Fläche:[6]

  • Die Erzeugenden stellen eine Schar von Asymptotenlinien dar. Sie sind auch eine Schar von Krümmungslinien.
  • Eine abwickelbare Fläche ist entweder ein (allgemeiner) Zylinder oder ein (allgemeiner) Kegel oder eine Tangentenfläche (Fläche die aus den Tangenten einer Raumkurve besteht).

Anwendung und Geschichte abwickelbarer FlächenBearbeiten

 
Verbindungstorse zweier Ellipsen und ihre Abwicklung

Die Determinantenbedingung für abwickelbare Flächen gibt einem eine Möglichkeit, eine Verbindungstorse zwischen zwei gegebenen Leitkurven numerisch zu ermitteln. Das Bild zeigt ein Beispiel einer Anwendung: Verbindungstorse zwischen zwei Ellipsen (eine horizontal, die andere vertikal) und ihre Abwicklung.[7]

Einen Einblick in die Verwendung von abwickelbaren Flächen im CAD-Bereich findet man in Interactive design of developable surfaces[8]

Einen historischen Überblick über abwickelbare Flächen gibt Developable Surfaces: Their History and Application[9]

Weitere BeispieleBearbeiten

Zusammensetzung von RegelflächenBearbeiten

Man kann je zwei abwickelbare Regelflächen längs einer Geraden   bzw.   abschneiden und sie so zusammensetzen, dass aus   und   eine gemeinsame Gerade der zusammengesetzten Fläche mit einer neuen gemeinsamen Tangentialebene von dieser wird.

Bei einer nicht abwickelbaren und einer abwickelbaren Regelfläche ist die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden nicht differenzierbar. Die gemeinsame Erzeugende ist als Kante sichtbar, wobei die Kante an verschiedenen Punkten der Erzeugenden verschieden deutlich hervortritt. Bei zwei nicht abwickelbaren Regelflächen kann die so zusammengesetzte Fläche längs der gemeinsamen Erzeugenden differenzierbar sein, ist es im Allgemeinen aber nicht.

Außermathematische AnwendungBearbeiten

Regelflächen können nicht nur in der Mathematik, sondern auch außerhalb davon in Konstruktionen und Ingenieursarbeit verwendet werden. Ein gutes Beispiel hierfür ist die Arbeit des Architekten/Mathematikers Antoni Gaudí. Das Gewölbe der La Sagrada Família beschreibt hierbei mehrere Hyperboloide, hyperbolische Paraboloide und Helikoide.[10][11]

LiteraturBearbeiten

  • Manfredo P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-85494-0, S. 142,147
  • G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7
  • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36685-1, S. 181
  • W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg, 2003, ISBN 3-528-17289-4
  • H. Schmidbauer: Abwickelbare Flächen: Eine Konstruktionslehre für Praktiker. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-47353-1

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. D. B. Fuks, Serge Tabachnikov: There are no non-planar triply ruled surfaces. In: Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics. American Mathematical Society, 2007, ISBN 978-0-8218-4316-1, S. 228.
  2. Regel. In: Jacob Grimm, Wilhelm Grimm (Hrsg.): Deutsches Wörterbuch. Band 14: R–Schiefe – (VIII). S. Hirzel, Leipzig 1893 (woerterbuchnetz.de).
  3. G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, Academic Press, 1990, ISBN 0-12-249051-7, S. 250
  4. W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband, Monatshefte für Mathematik 66, 1962, S. 276–289.
  5. W. Kühnel: Differentialgeometrie, S. 58–60
  6. G. Farin: S. 380
  7. CAD-Skript. (PDF) S. 113
  8. Tang, Bo, Wallner, Pottmann: Interactive design of developable surfaces (PDF) In: ACM Trans. Graph., (MONTH 2015), doi:10.1145/2832906
  9. Snezana Lawrence: Developable Surfaces: Their History and Application. In: Nexus Network Journal, 13(3), Oktober 2011, doi:10.1007/s00004-011-0087-z
  10. über Gaudis Geheimnis. Süddeutsche Zeitung
  11. über Regelflächen in der „Sagrada Familia“. Scienceblogs