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Ellipsoid

drei- oder mehrdimensionale Entsprechung einer Ellipse
Kugel (oben, a=4),
Rotationsellipsoid (unten links, a=b=5, c=3),
triaxiales Ellipsoid (unten rechts, a=4.5, b=6, c=3)

Ein Ellipsoid ist die 3-dimensionale Entsprechung einer Ellipse. So wie sich eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auffassen lässt, gilt:

  • Ein Ellipsoid (als Fläche) ist ein affines Bild der Einheitskugel

Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der (kartesischen) Koordinaten. Sie liefern Ellipsoide mit Gleichungen

Solch ein Ellipsoid ist punktsymmetrisch zum Punkt , dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen sind (analog zu einer Ellipse) die Halbachsen des Ellipsoids und die Punkte seine 6 Scheitel.

  • Falls ist, ist das Ellipsoid eine Kugel.
  • Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein Rotationsellipsoid.
  • Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder dreiachsig.

Alle Ellipsoide sind symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt die Rotationssymmetrie bezüglich der Rotationsachse noch hinzu. Eine Kugel ist zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt symmetrisch.

Jupiters Durchmesser von Pol zu Pol ist deutlich kleiner als am Äquator (zum Vergleich roter Kreis).

Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der Rugbyball und abgeplattete rotierende Himmelskörper, etwa die Erde oder andere Planeten (Jupiter), Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien und Zwergplaneten (z. B. (136108) Haumea) können auch triaxial sein.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

ParameterdarstellungBearbeiten

 
Kugelkoordinaten   eines Punktes und kartesisches Koordinatensystem

Die Punkte auf der Einheitskugel können wie folgt parametrisiert werden (s. Kugelkoordinaten):

 

Für den Winkel   (von der z-Achse aus gemessen) gilt:  . Für den Winkel   (von der x-Achse aus gemessen) gilt:  .

Skaliert man die einzelnen Koordinaten mit den Faktoren  , so ergibt sich eine Parameterdarstellung des Ellipsoids  :

 

mit   und  

VolumenBearbeiten

Das Volumen des Ellipsoids   ist

 

Eine Kugel mit Radius   hat das Volumen  

HerleitungBearbeiten

Der Schnitt des Ellipsoids   mit einer Ebene in der Höhe   ist die Ellipse   mit den Halbachsen

 .

Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist  . Das Volumen ergibt sich dann aus

 

OberflächeBearbeiten

Oberfläche eines RotationsellipsoidsBearbeiten

Die Oberfläche eines abgeplatteten Rotationsellipsoids   mit   ist

 

die des verlängerten Ellipsoids ( )

 

Eine Kugel mit Radius   hat die Oberfläche   (s. Kugel).

Oberfläche eines triaxialen EllipsoidsBearbeiten

Die Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B.   oder   oben beim Rotationsellipsoid. Die Flächenberechnung gelang Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der elliptischen Integrale. Sei  . Schreibt man

  und  

so lauten die Integrale

  und  

Die Oberfläche hat mit   und   nach Legendre[1] den Wert

 

Werden die Ausdrücke für   und   sowie die Substitutionen

   und   

in die Gleichung für   eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise

 

Von Knud Thomsen stammt die (integralfreie) Näherungsformel

 

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.

Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids   streben alle drei angegebenen Formeln für   gegen   den doppelten Wert der Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen   und  .

Ebene SchnitteBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

 
Ebener Schnitt eines Ellipsoids

Der Schnitt eines Ellipsoids mit einer Ebene ist

  • eine Ellipse, falls er wenigstens zwei Punkte enthält,
  • ein Punkt, falls die Ebene eine Tangentialebene ist,
  • andernfalls leer.

Der erste Fall folgt aus der Tatsache, dass eine Ebene eine Kugel in einem Kreis schneidet und ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse übergeht. Dass einige der Schnittellipsen Kreise sind, ist bei einem Rotationsellipsoid offensichtlich: Alle ebenen Schnitte, die wenigstens 2 Punkte enthalten und deren Ebenen senkrecht zur Rotationsachse sind, sind Kreise. Dass aber auch jedes 3-achsige Ellipsoid viele Kreise enthält, ist nicht offensichtlich und wird in Kreisschnittebene erklärt.

Der wahre Umriss eines beliebigen Ellipsoids ist sowohl bei Parallelprojektion als auch bei Zentralprojektion ein ebener Schnitt, also eine Ellipse (siehe Bilder).

Bestimmung einer SchnittellipseBearbeiten

 
Ebener Schnitt eines Ellipsoids (s. Beispiel)

Gegeben: Ellipsoid   und eine Ebene mit der Gleichung   die das Ellipsoid in einer Ellipse schneidet.
Gesucht: Drei Vektoren   (Mittelpunkt) und   (konjugierte Vektoren) so, dass die Schnittellipse durch die Parameterdarstellung

  beschrieben werden kann (s. Ellipse).
 
Ebener Schnitt der Einheitskugel (s. Beispiel)

Lösung: Die Skalierung   führt das Ellipsoid in die Einheitskugel   und die gegebene Ebene in die Ebene mit der Gleichung   über. Die HESSE-Normalform der neuen Ebene sei   mit dem Normaleneinheitsvektor   Dann ist
der Mittelpunkt des Schnittkreises   und dessen Radius  
Falls   ist, sei   (Die Ebene ist horizontal!)
Falls   ist, sei  
Die Vektoren   sind in jedem Fall zwei in der Schnittebene liegende orthogonale Vektoren der Länge   (Kreisradius), d. h., der Schnittkreis wird durch die Parameterdarstellung   beschrieben.

Macht man nun die obige Skalierung (affine Abbildung) rückgängig, so wird die Einheitskugel wieder zum gegebenen Ellipsoid und man erhält aus den Vektoren   die gesuchten Vektoren  , mit denen man die Schnittellipse beschreiben kann. Wie man daraus die Scheitel der Ellipse und damit ihre Halbachsen bestimmt, wird in Ellipse erklärt.

Beispiel: Die Bilder gehören zu dem Beispiel mit   und der Schnittebene   Das Bild des Ellipsoidschnittes ist eine senkrechte Parallelprojektion auf eine Ebene parallel zur Schnittebene, d. h., die Ellipse erscheint bis auf eine uniforme Skalierung in wahrer Gestalt. Man beachte, dass   hier nicht auf der Schnittebene senkrecht steht (im Gegensatz zu  ). Die Vektoren   sind hier nicht orthogonal (im Gegensatz zu  ).

Ellipsoid in beliebiger LageBearbeiten

 
Ellipsoid als affines Bild der Einheitskugel

ParameterdarstellungBearbeiten

Eine affine Abbildung lässt sich durch eine Verschiebung um   und eine reguläre 3×3-Matrix   beschreiben:

 ,

wobei   die Spaltenvektoren der Matrix   sind.

Die Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids ergibt sich aus der obigen Parameterdarstellung der Einheitskugel und der Beschreibung einer affinen Abbildung:

 

Umgekehrt gilt: Wählt man einen Vektor   beliebig und die Vektoren   beliebig, aber linear unabhängig, so beschreibt die obige Parameterdarstellung in jedem Fall ein Ellipsoid. Bilden die Vektoren   ein Orthogonalsystem, so sind die Punkte   die Scheitel des Ellipsoids und   die zugehörigen Halbachsen.

Ein Normalenvektor im Punkt   ist

 

Zu einer Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids lässt sich auch eine implizite Beschreibung   angeben. Für ein Ellipsoid mit Mittelpunkt im Ursprung, d. h.  , ist

 

eine implizite Darstellung.[2]

Bemerkung: Das durch obige Parameterdarstellung beschriebene Ellipsoid ist in dem (eventuell schiefen) Koordinatensystem   (Ursprung),   (Basisvektoren) die Einheitskugel.

Ellipsoid als QuadrikBearbeiten

Ein beliebiges Ellipsoid mit Mittelpunkt   lässt sich als Lösungsmenge einer Gleichung

 

schreiben, wobei   eine positiv definite Matrix ist.

Die Eigenvektoren von   bestimmen die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids und die Eigenwerte von   sind die Kehrwerte der Quadrate der Halbachsen:  ,   und  .[3]

Ellipsoid in der projektiven GeometrieBearbeiten

Schließt man den 3-dimensionalen affinen Raum und die einzelnen Quadriken projektiv durch eine Fernebene bzw. Fernpunkte (Quadriken) ab, so sind die folgenden Quadriken projektiv äquivalent, d. h., es gibt jeweils eine projektive Kollineation, die die eine Quadrik in die andere überführt:

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales Euleriennes, Bd. 1. Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.
  2. Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88.
  3. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD.