Ellipsoid

drei- oder mehrdimensionale Entsprechung einer Ellipse
Kugel (oben, a=4),
Rotationsellipsoid (unten links, a=b=5, c=3),
triaxiales Ellipsoid (unten rechts, a=4.5, b=6, c=3)

Ein Ellipsoid ist die 3-dimensionale Entsprechung einer Ellipse. So wie sich eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auffassen lässt, gilt:

  • Ein Ellipsoid (als Fläche) ist ein affines Bild der Einheitskugel

Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der kartesischen Koordinaten. Sie liefern Ellipsoide mit Gleichungen

Solch ein Ellipsoid ist punktsymmetrisch zum Punkt , dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen sind analog zu einer Ellipse die Halbachsen des Ellipsoids und die Punkte seine 6 Scheitelpunkte.

  • Falls ist, ist das Ellipsoid eine Kugel.
  • Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein Rotationsellipsoid.
  • Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder dreiachsig.

Alle Ellipsoide sind symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt die Rotationssymmetrie bezüglich der Rotationsachse noch hinzu. Eine Kugel ist zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt symmetrisch.

Jupiters Durchmesser von Pol zu Pol ist deutlich kleiner als am Äquator (zum Vergleich roter Kreis).

Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der Rugbyball und abgeplattete rotierende Himmelskörper, etwa die Erde oder andere Planeten (Jupiter), Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien und Zwergplaneten (z. B. (136108) Haumea) können auch triaxial sein.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

ParameterdarstellungBearbeiten

 
Kugelkoordinaten   eines Punktes und kartesisches Koordinatensystem

Die Punkte auf der Einheitskugel können wie folgt parametrisiert werden (siehe Kugelkoordinaten):

 

Für den Winkel   (von der z-Achse aus gemessen) gilt  . Für den Winkel   (von der x-Achse aus gemessen) gilt  .

Skaliert man die einzelnen Koordinaten mit den Faktoren  , so ergibt sich eine Parameterdarstellung des Ellipsoids  :

 

mit   und  

VolumenBearbeiten

Das Volumen des Ellipsoids   ist

 

Eine Kugel mit Radius   hat das Volumen  

HerleitungBearbeiten

Der Schnitt des Ellipsoids   mit einer Ebene in der Höhe   ist die Ellipse   mit den Halbachsen

 .

Der Flächeninhalt dieser Ellipse ist  . Das Volumen ergibt sich dann aus

 

OberflächeBearbeiten

Oberfläche eines RotationsellipsoidsBearbeiten

Die Oberfläche eines abgeplatteten Rotationsellipsoids   mit   ist

 

die des verlängerten Ellipsoids ( )

 

Eine Kugel mit Radius   hat die Oberfläche  .

Oberfläche eines triaxialen EllipsoidsBearbeiten

Die Oberfläche eines triaxialen Ellipsoids lässt sich nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B.   oder   oben beim Rotationsellipsoid. Die Flächenberechnung gelang Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der elliptischen Integrale. Sei  . Schreibt man

  und  

so lauten die Integrale

  und  

Die Oberfläche hat mit   und   nach Legendre[1] den Wert

 

Werden die Ausdrücke für   und   sowie die Substitutionen

   und   

in die Gleichung für   eingesetzt, so ergibt sich die Schreibweise

 

Von Knud Thomsen stammt die integralfreie Näherungsformel

 

Die maximale Abweichung vom exakten Resultat beträgt weniger als 1,2 %.

Im Grenzfall eines vollständig plattgedrückten Ellipsoids   streben alle drei angegebenen Formeln für   gegen   den doppelten Wert des Flächeninhalts einer Ellipse mit den Halbachsen   und  .

Ebene SchnitteBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

 
Ebener Schnitt eines Ellipsoids

Der Schnitt eines Ellipsoids mit einer Ebene ist

Der erste Fall folgt aus der Tatsache, dass eine Ebene eine Kugel in einem Kreis schneidet und ein Kreis bei einer affinen Abbildung in eine Ellipse übergeht. Dass einige der Schnittellipsen Kreise sind, ist bei einem Rotationsellipsoid offensichtlich: Alle ebenen Schnitte, die wenigstens 2 Punkte enthalten und deren Ebenen senkrecht zur Rotationsachse sind, sind Kreise. Dass aber auch jedes 3-achsige Ellipsoid viele Kreise enthält, ist nicht offensichtlich und wird in Kreisschnittebene erklärt.

Der wahre Umriss eines beliebigen Ellipsoids ist sowohl bei Parallelprojektion als auch bei Zentralprojektion ein ebener Schnitt, also eine Ellipse (siehe Bilder).

Bestimmung einer SchnittellipseBearbeiten

 
Ebener Schnitt eines Ellipsoids

Gegeben: Ellipsoid   und eine Ebene mit der Gleichung   die das Ellipsoid in einer Ellipse schneidet.
Gesucht: Drei Vektoren   (Mittelpunkt) und   (konjugierte Vektoren) so, dass die Schnittellipse durch die Parameterdarstellung

  beschrieben werden kann (siehe Ellipse).
 
Ebener Schnitt der Einheitskugel

Lösung: Die Skalierung   führt das Ellipsoid in die Einheitskugel   und die gegebene Ebene in die Ebene mit der Gleichung   über. Die Hesse-Normalform der neuen Ebene sei   mit dem Normaleneinheitsvektor   Dann ist
der Mittelpunkt des Schnittkreises   und dessen Radius  
Falls   ist, sei   (Die Ebene ist horizontal!)
Falls   ist, sei  
Die Vektoren   sind in jedem Fall zwei in der Schnittebene liegende orthogonale Vektoren der Länge   (Kreisradius), d. h., der Schnittkreis wird durch die Parameterdarstellung   beschrieben.

Macht man nun die obige Skalierung (affine Abbildung) rückgängig, so wird die Einheitskugel wieder zum gegebenen Ellipsoid und man erhält aus den Vektoren   die gesuchten Vektoren  , mit denen man die Schnittellipse beschreiben kann. Wie man daraus die Scheitelpunkte der Ellipse und damit ihre Halbachsen bestimmt, wird unter Ellipse erklärt.

Beispiel: Die Bilder gehören zu dem Beispiel mit   und der Schnittebene   Das Bild des Ellipsoidschnittes ist eine senkrechte Parallelprojektion auf eine Ebene parallel zur Schnittebene, d. h., die Ellipse erscheint bis auf eine uniforme Skalierung in wahrer Gestalt. Man beachte, dass   hier im Gegensatz zu   nicht auf der Schnittebene senkrecht steht. Die Vektoren   sind hier im Gegensatz zu  nicht orthogonal.

FadenkonstruktionBearbeiten

 
Fadenkonstruktion einer Ellipse
  Länge des Fades (rot)
 
Fadenkonstruktion eines Ellipsoids
 
Fadenkonstruktion: Bestimmung der Halbachsen

Die Fadenkonstruktion eines Ellipsoids ist eine Übertragung der Idee der Gärtnerkonstruktion einer Ellipse (siehe Abbildung). Eine Fadenkonstruktion eines Rotationsellipsoids ergibt sich durch Konstruktion der Meridian-Ellipsen mit Hilfe eines Fadens.

Punkte eines 3-achsigen Ellipsoids mit Hilfe eines gespannten Fadens zu konstruieren ist etwas komplizierter. Wolfgang Boehm schreibt in dem Artikel Die Fadenkonstruktion der Flächen zweiter Ordnung[2] die Grundidee der Fadenkonstruktion eines Ellipsoids dem schottischen Physiker James Clerk Maxwell (1868) zu. Otto Staude hat in Arbeiten 1882, 1886, 1898[3][4][5] die Fadenkonstruktion dann auf Quadriken verallgemeinert. Die Fadenkonstruktion für Ellipsoide und Hyperboloide wird auch in dem Buch Anschauliche Geometrie[6] von David Hilbert und Stefan Cohn-Vossen beschrieben. Auch Sebastian Finsterwalder beschäftigte sich 1886 mit diesem Thema.[7]

Konstruktionsschritte
(1) Man wähle eine Ellipse und eine Hyperbel, die ein Paar von Fokalkegelschnitten bilden:
Ellipse:   und
Hyperbel:  
mit den Scheitelpunkten und Brennpunkten der Ellipse
 
und einen Faden (in der Abbildung Bild rot) der Länge  .
(2) Man befestige das eine Ende des Fadens im Scheitelpunkt   und das andere Ende im Brennpunkt  . Der Faden wird in einem Punkt   so gespannt gehalten, dass der Faden von hinten auf der Hyperbel und von vorn auf der Ellipse gleiten kann (siehe Abbildung). Der Faden geht über denjenigen Hyperbelpunkt, mit dem die Entfernung von   nach   über einen Hyperbelpunkt minimal wird. Analoges gilt für den Fadenteil von   nach   über einen Ellipsenpunkt.
(3) Wählt man den Punkt   so, dass er positive y- und z-Koordinaten hat, so ist   ein Punkt des Ellipsoids mit der Gleichung
  und
 
(4) die restlichen Punkte des Ellipsoids erhält man durch geeignetes Umspannen des Fadens an den Fokalkegelschnitten.

Die Gleichungen für die Halbachsen des erzeugten Ellipsoids ergeben sich, wenn man den Punkt   in die beiden Scheitelpunkte   fallen lässt:

Aus der unteren Zeichnung erkennt man, dass   auch die Brennpunkte der Äquatorellipse sind. D. h.: Die Äquatorellipse ist konfokal zur gegebenen Fokalellipse. Also ist  , woraus sich   ergibt. Ferner erkennt man, dass   ist.
Aus der oberen Zeichnung ergibt sich:   sind die Brennpunkte der Ellipse in der x-z-Ebene und es gilt  .

Umkehrung:
Möchte man ein durch seine Gleichung gegebenes 3-achsiges Ellipsoid   mit den Halbachsen   konstruieren, so lassen sich aus den Gleichungen im Schritt (3) die für die Fadenkonstruktion nötigen Parameter   berechnen. Für die folgenden Überlegungen wichtig sind die Gleichungen

(5) 

Konfokale Ellipsoide:
Ist   ein zu   konfokales Ellipsoid mit den Quadraten der Halbachsen

(6) 

so erkennt man aus den vorigen Gleichungen, dass die zu   gehörigen Fokalkegelschnitte für die Fadenerzeugung dieselben Halbachsen   wie die von   besitzen. Deshalb fasst man – analog der Rolle der Brennpunkte bei der Fadenerzeugung einer Ellipse – die Fokalkegelschnitte eines 3-achsigen Ellipsoids als deren unendlich viele Brennpunkte auf und nennt sie Fokalkurven des Ellipsoids.[8]

Auch die Umkehrung ist richtig: Wählt man einen zweiten Faden der Länge   und setzt  , so gilt   D. h.: Die beiden Ellipsoide sind konfokal.

Grenzfall Rotationsellipsoid:
Im Fall   ist  , d. h., die Fokalellipse artet in eine Strecke und die Hyperbel in zwei Strahlen auf der x-Achse aus. Das Ellipsoid ist dann ein Rotationsellipsoid mit der x-Achse als Rotationsachse. Es ist  .

 
Unten: Parallelprojektion und Zentralprojektion eines 3-achsigen Ellipsoids, wo der scheinbare Umriss ein Kreis ist

Eigenschaften der Fokalhyperbel:
Betrachtet man ein Ellipsoid von einem außerhalb gelegenen Punkt   auf der zugehörigen Fokalhyperbel aus, so erscheint der Umriss des Ellipsoids als Kreis. Oder, anders ausgedrückt: Die Tangenten des Ellipsoids durch   bilden einen senkrechten Kreiskegel, dessen Rotationsachse Tangente in   an die Hyperbel ist.[9][10] Lässt man den Augpunkt   ins Unendliche laufen, entsteht die Ansicht einer senkrechten Parallelprojektion mit einer Asymptote der Fokalhyperbel als Projektionsrichtung. Die wahre Umrisskurve auf dem Ellipsoid ist im Allgemeinen kein Kreis.
In der Abbildung ist unten links eine Parallelprojektion eines 3-achsigen Ellipsoids (Halbachsen: 60,40,30) in Richtung einer Asymptote und unten rechts eine Zentralprojektion mit Zentrum   auf der Fokalhyperbel und Hauptpunkt   auf der Tangente an die Hyperbel in   dargestellt. In beiden Projektionen sind die scheinbaren Umrisse Kreise. Links ist das Bild des Koordinatenursprungs   der Mittelpunkt des Umrisskreises, rechts ist der Hauptpunkt   der Mittelpunkt.

Die Fokalhyperbel eines Ellipsoids schneidet das Ellipsoid in seinen vier Nabelpunkten.[11]

Eigenschaft der Fokalellipse:
Die Fokalellipse mit ihrem Inneren kann als Grenzfläche der durch   bestimmten Schar von konfokalen Ellipsoide für   als unendlich dünnes Ellipsoid angesehen werden. Es ist dann  

Ellipsoid in beliebiger LageBearbeiten

 
Ellipsoid als affines Bild der Einheitskugel

ParameterdarstellungBearbeiten

Eine affine Abbildung lässt sich durch eine Parallelverschiebung um   und eine reguläre 3×3-Matrix   beschreiben:

 ,

wobei   die Spaltenvektoren der Matrix   sind.

Die Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids ergibt sich aus der obigen Parameterdarstellung der Einheitskugel und der Beschreibung einer affinen Abbildung:

 

Umgekehrt gilt: Wählt man einen Vektor   beliebig und die Vektoren   beliebig, aber linear unabhängig, so beschreibt die obige Parameterdarstellung in jedem Fall ein Ellipsoid. Bilden die Vektoren   ein Orthogonalsystem, so sind die Punkte   die Scheitelpunkte des Ellipsoids und   die zugehörigen Halbachsen.

Ein Normalenvektor im Punkt   ist

 

Zu einer Parameterdarstellung eines beliebigen Ellipsoids lässt sich auch eine implizite Beschreibung   angeben. Für ein Ellipsoid mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung, d. h.  , ist

 

eine implizite Darstellung.[12]

Bemerkung: Das durch obige Parameterdarstellung beschriebene Ellipsoid ist in dem eventuell schiefen Koordinatensystem   (Koordinatenursprung),   (Basisvektoren) die Einheitskugel.

Ellipsoid als QuadrikBearbeiten

Ein beliebiges Ellipsoid mit Mittelpunkt   lässt sich als Lösungsmenge einer Gleichung

 

schreiben, wobei   eine positiv definite Matrix ist.

Die Eigenvektoren der Matrix   bestimmen die Hauptachsenrichtungen des Ellipsoids und die Eigenwerte von   sind die Kehrwerte der Quadrate der Halbachsen:  ,   und  .[13]

Ellipsoid in der projektiven GeometrieBearbeiten

Schließt man den 3-dimensionalen affinen Raum und die einzelnen Quadriken projektiv durch eine Fernebene bzw. Fernpunkte ab, so sind die folgenden Quadriken projektiv äquivalent, d. h., es gibt jeweils eine projektive Kollineation, die die eine Quadrik in die andere überführt:

AnwendungsbeispieleBearbeiten

Jupiter und SaturnBearbeiten

Die Planeten Jupiter und Saturn sind wegen den durch die schnelle Rotation wirkenden Zentrifugalkräfte an den Polen deutlich flacher als am Äquator und haben annähernd die Form eines Rotationsellipsoids.

JupiterBearbeiten

Jupiter hat den Äquatordurchmesser 142984 km und den Poldurchmesser 133708 km. Also gilt für die Halbachsen   und  . Die Masse des Jupiter beträgt etwa 1,899 · 1027 kg. Daraus ergibt sich mithilfe der oben genannten Formeln für das Volumen, die mittlere Dichte und die Oberfläche:

  • Volumen:  
Das ist etwa 1321-mal so viel wie das Volumen der Erde.
  • Mittlere Dichte:  
Jupiter hat also insgesamt eine etwas höhere Dichte als Wasser unter Standardbedingungen.
  • Oberfläche:  
Das ist etwa 121-mal so viel wie die Oberfläche der Erde.

SaturnBearbeiten

Saturn hat den Äquatordurchmesser 120536 km und den Poldurchmesser 108728 km. Also gilt für die Halbachsen   und  . Die Masse des Saturn beträgt etwa 5,683 · 1026 kg. Daraus ergibt sich:

  • Volumen:  
Das ist etwa 764-mal so viel wie das Volumen der Erde.
  • Mittlere Dichte:  
Saturn hat also insgesamt eine etwas geringere Dichte als Wasser unter Standardbedingungen.
  • Oberfläche:  
Das ist etwa 84-mal so viel wie die Oberfläche der Erde.

RugbyballBearbeiten

Ein Rugbyball hat eine Länge von etwa 280 Millimetern und an der Nebenachse einen Durchmesser von etwa 200 Millimetern. Also gilt für die Halbachsen   und  . Die Masse eines Rugbyballs beträgt etwa 400 Gramm. Daraus ergibt sich:

  • Volumen:  
  • Mittlere Dichte:  

Im Gegensatz zu Golfbällen schwimmen Rugbybälle daher auf dem Wasser.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Adrien-Marie Legendre: Traite des fonctions elliptiques et des intégrales Euleriennes, Bd. 1. Hugard-Courier, Paris 1825, S. 357.
  2. W. Böhm: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung, Mathemat. Nachrichten 13, 1955, S. 151
  3. Staude, O.: Ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides. Math. Ann. 20, 147–184 (1882)
  4. Staude, O.: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Grades. Math. Ann. 27, 253–271 (1886).
  5. Staude, O.: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Math. Ann. 50, 398 – 428 (1898).
  6. D. Hilbert & S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662366851, S. 18.
  7. S. Finsterwalder: Über die Fadenconstruction des Ellipsoides, Mathematische Annalen Bd. 26, 1886, S. 546–556
  8. O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes, Teubner, Leipzig 1861, S. 287
  9. D. Hilbert & S. Cohn-Vossen: Anschauliche Geometrie, S. 22
  10. O. Hesse: Analytische Geometrie des Raumes, S. 301
  11. W. Blaschke: Analytische Geometrie, S. 125
  12. Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88.
  13. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD.