Implizite Differentiation

Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) ist eine Möglichkeit, eine Funktion, die nicht explizit durch einen Term, sondern nur implizit durch eine Gleichung gegeben ist (auch implizite Kurve), mit Hilfe der mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten.[1] Sie kann oft auch benutzt werden, um die Ableitung von Funktionen, die zwar explizit gegeben sind, in dieser Form aber schwierig abzuleiten sind, zu bestimmen.

RegelBearbeiten

Erfüllt die differenzierbare Funktion   die Gleichung

 ,

wobei auch  , eine differenzierbare Funktion ist, so bedeutet das, dass die Funktion   konstant (nämlich die Nullfunktion) ist. Ihre Ableitung ist dementsprechend auch konstant null. Mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel erhält man dann

 

Hierbei sind   und   die partiellen Ableitungen von  . Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die Funktionsargumente   weggelassen.

Gilt   an einer Stelle  , so gilt dies auch für alle   in einer Umgebung von   und man kann die Gleichung nach   auflösen:

 

bzw. ausführlich

 

Höhere AbleitungenBearbeiten

Durch Anwendung der Produkt- und Kettenregel können auch höhere Ableitungen impliziter Funktionen berechnet werden. So ergibt sich die zweite Ableitung   zu:

 

mit  ,  ,  .[2]

BeispieleBearbeiten

Beispiel 1Bearbeiten

Gesucht ist die Ableitungsfunktion   des natürlichen Logarithmus  . Man kann diesen auch implizit darstellen

 ,

danach die Gleichung ableiten

 ,

wieder   setzen

 

und umstellen

 .

Beispiel 2Bearbeiten

Die Funktion  ,  , kann mit den herkömmlichen Ableitungsregeln nicht ohne Umformungen abgeleitet werden, da sowohl Exponent als auch Basis der Potenz variabel sind. Zunächst kann man durch Logarithmieren den Exponenten eliminieren:

 .

Nun leitet man implizit ab, indem man beide Seiten herkömmlich nach   ableitet:

 

Die linke Seite kann mit der Kettenregel, die rechte mit der Produktregel und der Regel für die Ableitung des Logarithmus berechnet werden:

 

Löst man nach   auf und setzt   ein, so erhält man als Lösung:

 .

Beispiel 3Bearbeiten

Der Kreis mit Mittelpunkt   und Radius   ist gegeben durch die Gleichung  . Teile davon kann man als Graph einer Funktion   schreiben. Deren Ableitung lässt sich mit Hilfe der impliziten Differentiation wie folgt berechnen:

In die definierende Gleichung setzt man   ein:

 

Durch Ableiten dieser Gleichung erhält man

 

Für   ergibt Auflösen nach  

 

Daraus folgt, dass die Tangente an den Kreis im Punkt   mit   die Steigung   hat.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gerhard Marinell: Mathematik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler. 7. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2001, ISBN 3-486-25567-3, S. 135–136 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Jörg Feldvoss, Höhere Ableitungen impliziter Funktionen, 2000: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/feldvoss/impldiff.pdf