Geometrischer Ort

Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft haben

In der Elementargeometrie bezeichnet geometrischer Ort (Plural: geometrische Örter) eine Menge von Punkten, die eine bestimmte, gegebene Eigenschaft haben. In der ebenen Geometrie ist dies in der Regel eine Kurve, wofür man auch das Wort Ortskurve oder Ortslinie verwendet. In der Navigation spricht man hingegen von Standlinien.

Ortslinien sind grundlegend für geometrische Konstruktionen seit Euklids Elementen: Ein Punkt wird dadurch bestimmt, dass zwei Ortslinien angegeben werden, deren Schnittpunkt er bildet. Im klassischen Fall, wo nur Zirkel und Lineal zugelassen sind, sind das zwei Geraden, zwei Kreise oder eine Gerade und ein Kreis.

BeispieleBearbeiten

Die klassischen Ortslinien in der ebenen GeometrieBearbeiten

  • Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt   einen festen Abstand   haben, ist der Kreis um   mit dem Radius  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden   einen festen Abstand   haben, ist das Paar von Parallelen zu   im Abstand  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten   und   den gleichen Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte über der Strecke  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen sich schneidenden Geraden   und   den gleichen Abstand haben, ist das Paar von Winkelhalbierenden zu   und  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen parallelen Geraden   und   den gleichen Abstand haben, ist die Mittelparallele zu   und  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt aus in einer bestimmten Richtung liegen, ist die Gerade durch diesen Punkt mit der gegebenen Richtung (z. B. Peilung).

Geometrische Örter, die keine Ortslinien sindBearbeiten

  • Der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand von einem gegebenen Punkt   kleiner ist als eine feste Zahl  , ist die offene Kreisscheibe um   mit dem Radius  .
  • Der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand von einem gegebenen Punkt   nicht größer ist als der Abstand von einem anderen gegebenen Punkt  , ist die abgeschlossene Halbebene, die von der Mittelsenkrechten über der Strecke   begrenzt wird und in der   liegt.
  • usw.
  • Der geometrische Ort aller Punkte, die von den drei Ecken eines Dreiecks gleich weit entfernt sind, ist der Umkreismittelpunkt.
  • Der geometrische Ort aller Punkte, die von den drei Seiten eines Dreiecks gleich weit entfernt sind, ist der Inkreismittelpunkt.

Räumliche GeometrieBearbeiten

  • Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt   einen festen Abstand   haben, ist die Kugelfläche um   mit dem Radius  . Praktische Beispiele sind etwa Schrägdistanzen und die Ortung mit GPS-Satelliten.
  • Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt   und einer gegebenen Ebene   den gleichen Abstand haben, bildet ein Paraboloid um  .
  • usw.

Weitere Beispiele aus der ebenen GeometrieBearbeiten

  • Die Ortslinie aller Scheitel von rechten Winkeln, deren Schenkel durch zwei gegebene Punkte   und   gehen, ist der Thaleskreis über der Strecke  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, von denen aus zwei gegebene Punkte   und   unter einem bestimmten Winkel   gesehen werden, ist das Fasskreisbogenpaar über   mit dem Peripheriewinkel (Umfangswinkel)  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, für die die Summe ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten   und   den festen Wert   hat, ist die Ellipse mit den Brennpunkten   und   und der großen Halbachse  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, für die die Differenz ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten   und   den festen Wert   hat, ist die Hyperbel mit den Brennpunkten   und   und der reellen Halbachse  .
  • Die Ortslinie aller Punkte, die zu einer gegebenen Geraden   und einem gegebenen Punkt   den gleichen Abstand haben, ist die Parabel mit dem Brennpunkt   und der Leitlinie (Leitgeraden)  .
  • Der geometrische Ort aller Punkte, für die der Quotient ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten einen bestimmten Wert   hat, ist der Kreis des Apollonios.

AnwendungsbeispielBearbeiten

Um die Tangente an einen gegebenen Kreis   (mit Mittelpunkt  ) zu zeichnen, die durch einen außerhalb des Kreises vorgegebenen Punkt   geht, reicht es nicht aus, mit dem Lineal eine Linie zu ermitteln, die durch   geht und   möglichst gut „streift“. Vielmehr ist zunächst der auf dem Kreis gelegene Berührpunkt zu ermitteln. Dieser ergibt sich als Schnittpunkt zweier Ortslinien:

  • Erste Ortslinie ist hier der bereits gegebene Kreis.
  • Zweite Ortslinie ist in diesem Fall der Thaleskreis über der Strecke  .

Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, folglich zwei Tangenten.

Siehe auchBearbeiten