Hauptmenü öffnen

Wikipedia β

Pol und Polare sind ein Begriffspaar in der ebenen Geometrie der Kegelschnitte: Jedem Punkt der Ebene wird eine Gerade umkehrbar eindeutig zugeordnet. Vermittelndes Element ist ein Kegelschnitt. Die Gerade heißt Polare des Punktes, der Punkt Pol der Geraden. Die durch die Zuordnung Pol↔Polare gegebene Abbildung wird als Polarität, genauer als hyperbolische projektive Polarität bezeichnet. Zum allgemeineren Begriff Polarität siehe den Artikel Korrelation (Projektive Geometrie), dort wird auch die Koordinatendarstellung von Polaritäten (als Abbildungen) erläutert.

Inhaltsverzeichnis

Außen liegender PolBearbeiten

 
Pol   (rot) außerhalb des Kreises mit Polare   (rot)
harmonische Teilung: 

Zu einem Punkt  , der im Äußeren[1] eines nicht entarteten Kegelschnitts (im Bild: eines Kreises) liegt, gibt es stets zwei Tangenten   und  , die durch   gehen. Berühren diese den Kegelschnitt in den Punkten   und  , so heißt die Gerade   „die Polare zu   (bezüglich des gegebenen Kegelschnitts)“.

Umgekehrt kann man sagen:

Schneidet eine Gerade   (die Polare) einen Kegelschnitt in zwei Punkten   und   so heißt der Schnittpunkt der beiden Tangenten in   und   der Pol zu   (bezüglich des Kegelschnittes).

Harmonische Teilung und endgültige DefinitionBearbeiten

Zeichnet man durch den Pol   eine Sekante, die den Kegelschnitt in   und   und die Polare in   schneidet, so teilen die Punkte   und   die Strecke   harmonisch (siehe Zeichnung). Dies erlaubt es, die Polare auch folgendermaßen zu definieren:

Zeichnet man durch einen Punkt   (den Pol) die Sekanten zu einem nicht entarteten Kegelschnitt, so liegen die vierten harmonischen Punkte, die (zusammen mit  ) die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen, auf einer Geraden. Diese Gerade heißt die Polare zu   (bezüglich des Kegelschnitts).

Bei dieser Definition wird nicht mehr vorausgesetzt, dass   im Äußeren des Kegelschnitts liegt. Auch zu jedem Punkt im Innern gibt es danach eine wohl definierte Polare.

Innen liegender PolBearbeiten

 
Pol   (rot) innerhalb des Kreises mit Polare   (rot)
harmonische Teilung: 

Geometrisch erhält man die Polare zu einem Punkt   im Innern eines Kegelschnitts, indem man (mindestens zwei) Sekanten durch   zeichnet (im Bild   und  ) und an den Endpunkten ihrer Sehnen jeweils die Tangenten konstruiert. Die Schnittpunkte dieser Tangenten (im Bild   und  ) liegen auf der Polaren.

Umgekehrt kann man auch sagen:

Ist die Polare Passante des Kegelschnitts, so schneiden sich die Polaren aller auf ihr liegenden Punkte im Pol der Geraden.

SonderfälleBearbeiten

  • Liegt der Pol auf der Kegelschnittlinie, so ist die Polare die Tangente in diesem Punkt. (Oder umgekehrt: Ist die Polare Tangente an den Kegelschnitt, so ist ihr Pol der Berührpunkt.)
  • Die Polare des Mittelpunkts ist die unendlich ferne Gerade.
  • Pol zu einem Durchmesser ist ein unendlich ferner Punkt, und zwar der, dessen Richtung die (parallelen!) Tangenten am Ende des Durchmessers angeben.

Zusammenhang mit der KreisspiegelungBearbeiten

 
Die Polare zu einem Punkt   bezüglich eines Kreises lässt sich, falls der Punkt   nicht Mittelpunkt des Kreises ist, auch durch eine Kreisspiegelung bestimmen.

Die Zuordnung zwischen einem Pol   und seiner Polaren   bezüglich eines Kreises   um   weist dem Punkt   ( ) die Gerade   zu, die durch den Spiegelpunkt   bei der Kreisspiegelung   an   geht und auf der Verbindungsgerade   senkrecht steht. Vergleiche dazu die Abbildung rechts unten.

Höhere DimensionenBearbeiten

Im dreidimensionalen Raum tritt an die Stelle des Kegelschnitts als vermittelndes Element eine Fläche zweiter Ordnung, im einfachsten Fall also eine Kugel. Ist der Pol ein äußerer Punkt, so gibt es von ihm aus nicht nur zwei Tangenten, sondern im Allgemeinen eine ganze Schar von Tangenten, die einen Kegel (nicht notwendig einen Kreiskegel!) bilden. Dieser berührt die Fläche zweiter Ordnung in einer Linie (genauer: in einem Kegelschnitt – bei der Kugel in einem Kreis), und diese Linie ist die Schnittline der Fläche zweiter Ordnung mit einer Ebene – eben der Polarebene. Dieser Begriff ersetzt hier also den Begriff Polare.

Durch den Pol verlaufende Sekanten erzeugen auch hier eine harmonische Teilung, und man kann, auch für Punkte im Innern der Fläche zweiter Ordnung, ganz analog zum zweidimensionalen Fall definieren:

Zeichnet man durch einen Punkt   (den Pol) die Sekanten zu einer nicht entarteten Fläche zweiter Ordnung, so liegen die vierten harmonischen Punkte, die (zusammen mit  ) die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen, auf einer Ebene. Diese Ebene heißt die Polebene zu   (bezüglich der Fläche zweiter Ordnung).[2]

Auch die Sonderfälle verhalten sich analog.

Entsprechende Begriffsbildungen sind auch für Räume mit mehr als drei Dimensionen möglich.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band I. 2. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig 1976, ISBN 3-528-03056-9, S. 224 ff.
  • Karl Rohn, Erwin Papperitz: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie Erster Band. 1. Auflage. Salzwasser Verlag, Paderborn 2011, ISBN 978-3-86195-888-8, S. 184 ff.

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Bei einer Parabel oder Hyperbel liegt der Punkt im "Äußeren", wenn sich die Kurve von ihm wegkrümmt, wenn sie also von dem Punkt aus gesehen konvex ist.
  2. Schaal (1974).