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In der Geometrie bezeichnet man als Affinität eine strukturerhaltende bijektive Abbildung eines affinen Raumes (häufig der Zeichenebene oder des dreidimensionalen Anschauungsraums) auf sich selbst. Der Begriff umfasst und verallgemeinert den Begriff der Ähnlichkeit, bei der zusätzlich die Verhältnisse beliebiger Streckenlängen und die Maße von Winkeln (→ siehe Winkeltreue) erhalten bleiben.

  • Eine Affinität ist also eine affine Abbildung eines affinen Raumes in sich selbst, welche zugleich eine Bijektion ist. Sie hat damit stets die Eigenschaft[1], dass
  1. die Punkte und Geraden des Raumes auf Punkte bzw. Geraden unter Erhaltung der Kollinearität abgebildet werden: Punkte auf einer Geraden werden auf Punkte der zugehörigen Bildgeraden abgebildet,
  2. das Teilverhältnis von beliebigen drei Punkten auf einer beliebigen Geraden erhalten bleibt (Teilverhältnistreue) und
  3. jedes Paar paralleler Geraden auf ein Paar paralleler Geraden abgebildet wird (Parallelentreue).[2]
  • Jede Affinität ist eine Kollineation, hat also die erstgenannte Eigenschaft der Geradentreue.
  • Im Euklidischen Raum verändert eine Affinität im Allgemeinen die Längen von Strecken und die Maße von Winkeln und damit auch Flächen- und Rauminhalte. Affinitäten des Euklidischen Raumes, welche auch diese Größen unverändert lassen, also Isometrien sind, heißen Bewegungen.
  • Ebenso werden durch eine Affinität eines Euklidischen Raumes im Allgemeinen die Verhältnisse von Strecken (Längenverhältnisse) verändert. Werden sie und damit auch Winkel zwischen Geraden dagegen nicht verändert, so nennt man eine solche Affinität Ähnlichkeit.

In der synthetischen Geometrie wird der Begriff Affinität für zweidimensionale affine Räume, also Ebenen verallgemeinert: Eine Kollineation auf einer affinen Ebene ist genau dann eine Affinität, wenn jede ihrer Einschränkungen auf eine Gerade durch eine Komposition von Parallelprojektionen dargestellt werden kann. Für desarguesche Ebenen ist diese Definition äquivalent zu der Definition „Eine Affinität ist eine teilverhältnistreue Kollineation.“, die in der analytischen Geometrie verwendet wird. Für mindestens dreidimensionale affine Räume erübrigt sich eine Verallgemeinerung, da diese stets desarguesch sind, eindimensionale Räume werden für sich genommen in der synthetischen Geometrie nicht betrachtet.

KoordinatendarstellungBearbeiten

Man kann die Abbildungsvorschrift nach Wahl einer affinen Punktbasis für die Ortsvektoren   in der Form

 

angeben. Der Vektor   heißt Verschiebungsvektor,   ist eine quadratische   Matrix, die sogenannte Abbildungsmatrix. Für ihre Determinante ist stets  , d. h. die Abbildung ist bijektiv.

Hier wird der affine Raum als ein Vektorraum   über einem Körper   (in der Geometrie meist  ) aufgefasst. Die Punkte des affinen Raumes sind die Vektoren aus   (Ortsvektoren), und affine Unterräume sind die additiven Nebenklassen der linearen Unterräume dieses Vektorraums  . Von dem Vektorraum   wird dabei in der Geometrie stets und auch in der Linearen Algebra überwiegend vorausgesetzt, dass seine Dimension endlich ist.

Klassifizierung von AffinitätenBearbeiten

Radiale AffinitätenBearbeiten

Eine Affinität heißt radiale/zentrische Affinität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt, dies ist äquivalent zu  .

(Der Rang   wird in Rang erläutert.)

Perspektive AffinitätenBearbeiten

Eine Affinität heißt perspektive Affinität, wenn sie genau eine Fixpunkthyperebene (das heißt eine ausschließlich aus Fixpunkten bestehende Hyperebene) besitzt, was äquivalent zu   ist.

Eine perspektive Affinität heißt Parallelstreckung, wenn sie neben dem Eigenwert   (das heißt einem Eigenwert von  ) noch einen Eigenwert   besitzt.

Eine Parallelstreckung mit   heißt Affinspiegelung. Sie heißt Scherung, wenn sie nur den Eigenwert   besitzt.

Eine perspektive Affinität besitzt ein Invariantes Rechtwinkelpaar.

HomothetienBearbeiten

Eine Affinität mit

  mit   heißt Homothetie oder Dilatation.

Falls außerdem

  •  , heißt   Zentralstreckung.
  •  , heißt   Verschiebung oder Translation
  •  , heißt   Punktspiegelung.

UnimodularitätBearbeiten

Eine Affinität heißt unimodular, wenn  .

Sie ist eigentlich unimodular, wenn  .

InhaltstreueBearbeiten

Ist der zugrunde liegende Körper angeordnet, so ist eine Affinität inhaltstreu, wenn  .

Sie ist gleichsinnig, wenn  .

Eigenschaften allgemeiner AffinitätenBearbeiten

Affinitäten besitzen eine Reihe von Eigenschaften, die bei Konstruktionen ausgenutzt werden können.

BijektivitätBearbeiten

Eine Affinität ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.

GeradentreueBearbeiten

Das Bild einer Geraden unter einer Affinität ist wieder eine Gerade.

ParallelentreueBearbeiten

Die Bilder paralleler Geraden unter einer Affinität sind wieder parallel.[2]

TeilverhältnistreueBearbeiten

Ist   ein Punkt der Strecke   und sind   die Bilder von   und   unter einer Affinität, so ist das Teilverhältnis von   gleich dem Teilverhältnis von  . Speziell gilt: Ist   Mittelpunkt von  , so ist der Bildpunkt von M unter einer Affinität der Mittelpunkt der Strecke  .

Eigenschaften ebener perspektiver AffinitätenBearbeiten

Bei einer perspektiven Affinität in einem zweidimensionalen affinen Raum, der Ebene, ist die Fixpunkthyperebene eine Gerade, die auch als Achse der Affinität bezeichnet wird. Man spricht hier auch von Achsenaffinitäten.

Geraden durch Punkt und Bildpunkt sind FixgeradenBearbeiten

Eine Gerade  , durch einen Punkt   und seinen Bildpunkt   ist eine Fixgerade. Dies lässt sich mit Hilfe der Fixpunktgerade   der perspektiven Affinität zeigen:

  • Wenn   die Fixpunktgerade   in einem Punkt   schneidet, so ist das Bild von   aufgrund der Geradentreue die Gerade  . Diese fällt aber mit   zusammen.
  • Wenn   parallel zu   ist, dann ist das Bild von   aufgrund der Parallelentreue eine Parallele zu   durch  , da das Bild von   gleich   selbst ist. Diese Parallele fällt aber mit   zusammen.

Parallelen von Fixgeraden sind wieder FixgeradenBearbeiten

 
Parallelen von Fixgeraden sind wieder Fixgeraden

Das Bild   einer Parallelen   zu einer Fixgeraden   ist selbst wieder eine Fixgerade. Die Aussage folgt aus der Parallelen- und Teilverhältnistreue:

  • Da   und   parallel sind, muss auch   und   parallel sein. Aus der Transitivität der Parallelität folgt, dass dann auch   und   parallel sein müssen.
  • Wähle einen Punkt   auf der Affinitätsachse   und einen Punkt   auf  .
  • Da   und   parallel sind, schneidet die Verbindungsgerade   auch   in einem Punkt  .
  • Da   eine Fixgerade ist, liegt das Bild   von   auf   und das Bild von   ist gleich  .
  • Über die Verhältnistreue folgt, dass   zu   wie   zu  .
  • Mit der Umkehrung des ersten Strahlensatzes ergibt sich, dass dann   auf einer Parallele zu   durch   (also auf  ) liegen muss. Da   und   parallel sind und den Punkt   gemeinsam haben, müssen sie identisch sein.

KonstruktionenBearbeiten

Bildpunkt unter einer perspektiven AffinitätBearbeiten

 
Konstruktion des Bildpunktes Q' von Q unter einer perspektiven Affinität.

Gegeben sei eine perspektive Affinität über ihre Fixpunktgerade   und das Punkt/Bildpunkt-Paar  ,  . Das Bild eines beliebigen Punktes   lässt sich damit wie folgt konstruieren:

  • Wähle einen beliebigen Punkt   auf der Fixpunktgeraden  .
  • Zeichne die Verbindungsgerade  .
  • Das Bild von   ist aufgrund der Geradentreue der Abbildung wieder eine Gerade. Das Bild von   ist   selbst, da   auf der Fixgeraden   liegt. Damit ist das Bild von   die Gerade  .
  • Zeichne eine Parallele zu   durch  . Diese schneidet   in einem Punkt  . Aufgrund der Parallelentreue der Abbildung ist das Bild von   eine Parallele zu   durch den Punkt  . Der gesuchte Punkt   liegt auf dieser Parallelgeraden.
  • Zeichne die Gerade  . Sie schneidet   in einem Punkt   (ist das nicht der Fall, ist eine Sonderbehandlung notwendig). Das Bild dieser Geraden ist  . Der gesuchte Punkt   liegt ebenfalls auf dieser Geraden und ist daher der Schnittpunkt von   und der Parallele von   durch  .

Eine andere Möglichkeit der Konstruktion spart den Hilfspunkt   ein und nutzt die Eigenschaft aus, dass Geraden durch Punkt und Bildpunkt Fixgeraden sind:

  • Zeichne die Gerade  . Da es sich um eine Gerade durch Punkt und Bildpunkt handelt, ist das Bild dieser Geraden die Gerade selbst.
  • Zeichne eine Parallele   zu   durch  . Sie schneidet die Fixgerade   in  .
  • Das Bild von   ist   selbst:
    • Geradentreue: Da   parallel zu  , verläuft das Bild von   parallel zum Bild von  .
    •   ist eine Fixgerade: Das Bild von   ist   selbst. Daraus folgt, dass das Bild von   parallel zu sich selbst ist.
    • Da der Punkt   Teil der Fixpunktgeraden   ist, ist das Bild von   gleich   selbst.
    • Da das Bild von   durch   verläuft und parallel zu sich selbst ist, kann es nur   selbst sein.
  • Damit ist   Teil von  .
  • Mit der Überlegung der ersten Konstruktion liegt damit   auf dem Schnittpunkt von   und   (mit dem Schnittpunkt   von   und  ).

GruppenstrukturBearbeiten

Die Menge der Affinitäten über einem affinen Raum   bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe. Ist dem affinen Raum   der  -dimensionale Vektorraum   zugeordnet, dann lässt sich diese Gruppe (hier abkürzend als   geschrieben) in die Allgemeinen linearen Gruppen als Untergruppe einordnen.

Die Gruppe der Affinitäten ist auch eine Untergruppe der Gruppe der (ebenentreuen) Kollineationen.

GruppenoperationenBearbeiten

Durch die von einer Affinität geforderten Eigenschaften ergeben sich in natürlicher Weise verschiedene Gruppenoperationen:

  •   operiert als Abbildungsgruppe
  1. auf der Punktmenge  ,
  2. auf der Menge der affinen Teilräume von   einer festen Dimension   mit  ,
  3. auf Mengen von Richtungen im affinen Raum, zum Beispiel der Menge aller Scharen paralleler Geraden.
  • Die Gruppe   operiert scharf einfach transitiv auf der Menge der affinen Punktbasen des affinen Raums  . Das bedeutet hier: Gibt man   Punkte in allgemeiner Lage (so, dass die Verbindungsvektoren des ersten Punktes mit den übrigen   Punkten linear unabhängig sind) vor, dann gibt es genau eine Affinität, bei der die Standardbasis auf diese Punkte (in der vorgegebenen Reihenfolge) abgebildet wird. Daraus ergibt sich eine einfache Möglichkeit, die Anzahl der Elemente von   zu berechnen, wenn   ein endlicher Körper ist.

GruppenstrukturBearbeiten

Die Gruppe  

  1. ist für   stets nichtkommutativ,
  2. enthält die allgemeine lineare Gruppe   als Untergruppe – die Affinitäten, bei denen der fest gewählte Ursprung   Fixpunkt ist, deren Translationsanteil oder Verschiebungsvektor also der Nullvektor ist,
  3. kann als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe   aufgefasst werden,
  4. kann als Untergruppe der Projektiven linearen Gruppe   aufgefasst werden – hier gehören jene Projektivitäten zu  , die eine feste Hyperebene des projektiven Raumes, die Fernhyperebene als Fixhyperebene auf sich selbst abbilden,
  5. enthält die kommutative Untergruppe der Translationen (reine Verschiebungen, deren Abbildungsmatrix   die Einheitsmatrix ist)   als Normalteiler,
  6. ist inneres semidirektes Produkt von   und  .
  7. Der Normalteiler   der Translationen ist isomorph zur additiven Gruppe   des zugrundeliegenden Vektorraums.
  8.   operiert durch Konjugation scharf einfach transitiv auf der Menge von Untergruppen  . Dabei ist   diejenige Untergruppe von  , die einen bestimmten Punkt   des affinen Raumes auf sich abbildet. Jede dieser Untergruppen ist zu   isomorph.

GruppenordnungBearbeiten

Ist der Körper   ein endlicher Körper mit   Elementen, dann ist die Gruppe der Affinitäten   endlich und ihre Ordnung ist

 .

Dabei ist der Faktor   die Ordnung der Translationsgruppe  , er ist zugleich der Index   der Untergruppe  , die den Ursprung auf sich abbildet. Die Ordnung dieser Untergruppe liefert die übrigen Faktoren (→siehe Allgemeine lineare Gruppe#Über endlichen Körpern).

LiteraturBearbeiten

  • Rolf Brandl: Vorlesungen über Analytische Geometrie. Verlag Rolf Brandl, Hof 1996.
  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 6., überarbeitete Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig [u. a.] 1992, ISBN 3-528-57235-3.
  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9.
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 14. Januar 2012]).

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Scheja und Storch §43
  2. a b Die Parallelentreue folgt aus der ersten Forderung an eine Affinität, der Erhaltung der Kollinearität, außer im Falle von affinen Räumen mit genau zwei Punkten auf jeder Geraden, die mindestens dreidimensional sind. In allen Fällen ist sie, wenn die Geradentreue vorausgesetzt wird, äquivalent zur Ebenentreue (Scheja und Storch §43 und V.I). Vergleiche hierzu auch die ausführlichen Erläuterungen in Kollineation.