Hauptmenü öffnen

Bewegung (Mathematik)

isometrische Abbildung eines euklidischen Punktraums auf sich selbst

In der Geometrie ist eine Bewegung eine isometrische Abbildung eines euklidischen Punktraums auf sich selbst. Es handelt sich also um eine bijektive, abstandserhaltende und winkeltreue affine Abbildung.

Da das Bild einer geometrischen Figur unter einer solchen Abbildung stets kongruent zur Ausgangsfigur ist, nennt man eine Bewegung auch eine Kongruenzabbildung, dieser Begriff ist aber nur im Fall einer Bewegung des zweidimensionalen euklidischen Punktraums gebräuchlich.

Von einer eigentlichen Bewegung spricht man, falls die Isometrie zusätzlich noch die Orientierung erhält. Andernfalls heißt die Bewegung uneigentlich.

Allgemeiner werden auch in der absoluten Geometrie gewisse Bijektionen des Punktraums durch Axiome der Bewegung als Bewegungen gekennzeichnet. Sie definieren dann in nichteuklidischen Geometrien den Begriff der Kongruenz: Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie durch eine Bewegung bijektiv aufeinander abgebildet werden.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Abbildung   des  -dimensionalen euklidischen Raums   in sich heißt Bewegung, falls für je zwei Punkte   und   in   gilt

 

Hierbei bezeichnet   den euklidischen Abstand der Punkte   und  , also die Länge der Strecke   bzw. des Vektors  .

Eine Bewegung ist automatisch affin und bijektiv, also eine Affinität. Außerdem ist sie winkeltreu.

Beschreibung mit Hilfe von linearen AbbildungenBearbeiten

Man kann den  -dimensionalen euklidischen Raum   als affinen Punktraum über einem euklidischen Vektorraum   auffassen. Bewegungen kann man dann mit Hilfsmitteln der linearen Algebra beschreiben.

Ist   eine Bewegung, so existiert eine orthogonale Abbildung (lineare Isometrie)  , so dass für alle Punkte   und   gilt:

 

Wählt man einen Ursprung  , so gilt also für die Ortsvektoren eines Punktes   und seines Bildpunktes  

 

Man erhält den Ortsvektor des Bildpunktes also durch die Komposition der orthogonalen Abbildung

 

und der Translation

 

Beschreibung in KoordinatenBearbeiten

Führt man im  -dimensionalen euklidischen Raum   ein affines Koordinatensystem   mit dem Ursprung   ein und verwendet die zugehörige Basis   des Vektorraums  , so lässt sich jede affine Abbildung durch eine  -Matrix

 

und einen Translationsvektor

 

beschreiben:

 

Hierbei sind

  und  

die Koordinatenvektoren der Ortsvektoren   und  

Bei Wahl eines kartesischen Koordinatensystems gilt:   ist genau dann eine Bewegung, wenn die Matrix   orthogonal ist. Gilt außerdem  , so handelt es sich um eine eigentliche Bewegung.

Eine Bewegung kann auch mit der Translation als erster und der orthogonalen Abbildung als zweiter Aktion formuliert werden, denn es ist

 

mit  

Die Bewegungsgruppe (Euklidische Gruppe)Bearbeiten

Die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen ergibt wieder eine Bewegung. Die Bewegungen bilden also[1] eine Gruppe, die Bewegungsgruppe oder euklidische Gruppe, die mit   oder   bezeichnet wird. Die Hintereinanderausführung zweier eigentlicher Bewegungen ist wieder eine eigentliche Bewegung. Diese bilden also eine Untergruppe von  , die mit   bzw.   bezeichnet wird. Beide Gruppen lassen sich als das semidirekte Produkt  [2] bzw.   der zugehörigen Matrizengruppen   bzw.   mit der Gruppe   der Translationen auffassen. Dies besagt konkret, dass für die Hintereinanderausführung zweier Bewegungen   und   gilt:

 

Beide Gruppen sind Lie-Gruppen der Dimension

 

Bewegungen in der euklidischen EbeneBearbeiten

Eigentliche Bewegungen der Ebene sind

Uneigentliche Bewegungen sind

Die Bewegungsgruppe ISO(2) der Ebene lässt sich durch Achsenspiegelungen erzeugen.

Bewegungen im euklidischen RaumBearbeiten

Eigentliche Bewegungen im Raum sind

  • eine Parallelverschiebung
  • eine Drehung um eine beliebige Achse im Raum
    • eine Spiegelung an einer Geraden als Sonderfall einer Drehung um 180°
  • eine Schraubung, also eine Drehung gefolgt von einer Translation längs der Drehachse

Uneigentliche Bewegungen sind

  • eine Ebenenspiegelung
  • eine Gleitspiegelung, also eine Ebenenspiegelung gefolgt von einer Translation in eine Richtung parallel zu der Spiegelebene
  • eine Drehspiegelung, also eine Ebenenspiegelung gefolgt von einer Drehung um eine zu dieser Ebene orthogonale Achse
  • eine Punktspiegelung

Drehungen wie auch Drehspiegelungen verfügen stets über Fixpunkte. Legt man den Koordinatenursprung in einen solchen, so wird der translatorische Anteil Null. Wie im Artikel zu orthogonalen Gruppen ausgeführt, besitzt eine Drehung im Raum stets eine Achse und einen Drehwinkel und ist durch diese Daten eindeutig festgelegt. Ähnliches gilt auch für Drehspiegelungen.

In manchen Situationen kann auf den translatorischen Teil jedoch nicht verzichtet werden: Beispielsweise bei der Beschreibung zweier Drehungen mit sich gegenseitig nicht schneidenden Achsen.

Die Bewegungsgruppe ISO(3) des Raumes lässt sich durch Ebenenspiegelungen erzeugen.

Die Bewegung eines starren Körpers im Raum oder auch eine Kamerafahrt lassen sich als eine stetige Folge von Bewegungen, also als eine Abbildung von einem reellen Zeitintervall   in die Gruppe der eigentlichen Bewegungen des Raumes auffassen.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Das Assoziativgesetz ist bei Hintereinanderausführungen stets erfüllt.
  2. Die Abbildungen   und   des Splitting-Lemmas
     
    sind   mit   als der Einheitsmatrix in   und  , so dass mit   gilt
     
    Gemäß der Multiplikationsregel     in    , wobei zwar zuerst  , dann   ausgeführt wird, was aber auf die nachfolgende Termersetzung keinen Einfluss hat, ist damit als das   in der Spezifikation des semidirekten Produktes  
     
    zu nehmen, so dass   ist, wie es sein muss.
    Und   ist der Normalteiler im semidirekten Produkt.

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. Vieweg, 1978. ISBN 3-528-17235-5
  • Max Köcher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Aufl., Springer, Berlin 2007. ISBN 978-3540493273 (S. 102ff behandelt die Bewegungen der Ebene)