Affiner Unterraum

Begriff aus der linearen Algebra

In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie.

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum (blau) ist ein affiner Unterraum, der durch Verschiebung einer Ursprungsebene um einen Vektor (rot) hervorgeht.

DefinitionBearbeiten

Eine Teilmenge   eines Vektorraums   heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor   aus   und einen Untervektorraum   von   gibt, sodass

 

gilt. In diesem Fall heißt   auch Stützvektor von   und   der   zugeordnete lineare Unterraum (der Verbindungsvektoren).   ist durch   eindeutig bestimmt; alle   mit   sind Stützvektoren von  . Die Dimension von   ist die Dimension von  .

Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt affine Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt affine Ebene.

Hat der zu einem affinen Unterraum   gehörige lineare Unterraum   die Kodimension  , so nennt nennt man   eine affine Hyperebene.

In der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet. Sie hat dann als affiner Raum die Dimension   und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet.

Anschauliche BetrachtungBearbeiten

Als Untervektorraum   werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum   gewählt, für die gilt:

  mit  

Als Vektor   wird

 

gewählt. Dann ist der affine Unterraum   eine Gerade, die um   (also um eine Einheit in  -Richtung) vom Ursprung verschoben ist, mit der Gleichung:

  mit  

Die auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum, aber kein Untervektorraum von V, da sie nicht den Nullvektor enthält.

Dimensionsformel für affine UnterräumeBearbeiten

Sei   ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper   und seien   zwei affine Unterräume von  .

Für den Fall, dass   und   nicht disjunkt sind oder einer der beiden Räume leer ist, gilt die Dimensionsformel:

 

Falls   und   jedoch disjunkt und nichtleer sind, lautet die Dimensionsformel

 

wobei   aus der Darstellung   (mit festem   und dem zugeordneten linearen Unterraum   von  ) erhalten wird. Analog erhält man  .

In beiden Fällen steht   für den Verbindungsraum von   und  .

EigenschaftenBearbeiten

Da in der Definition eines affinen Unterraums auch   gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er den Nullvektor enthält.

Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in   Variablen über dem Körper   ist ein affiner Unterraum von  , falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.

LiteraturBearbeiten