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Ellipsograph des Archimedes als 3D-Animation
Einstellbarer Ellipsograph, hergestellt circa 1900

Der Ellipsograph, Ellipsenzirkel des Archimedes[1] oder Stuckateurzirkel[2][3] ist ein Mechanismus, der die Form einer Ellipse erzeugt.

Er besteht im Wesentlichen aus drei unterschiedlichen Bauteilen:

  1. einer Grundplatte mit zwei rechtwinklig zueinander liegenden Führungsnuten (andere Konfigurationen sind technisch möglich, aber unüblich),
  2. einem Zeichenarm mit der Halterung für den Zeichenstift bei Punkt sowie zwei Gelenkaugen und ,
  3. zwei Kulissensteine mit Lagerbolzen, eingeschoben in den Führungsnuten der Grundplatte, verbinden die Grundplatte im Punkt und mit dem damit beweglichen Zeichenarm.

Der Abstand zwischen Zeichenstift und dem ersten Gelenkauge sei , der Abstand zwischen den Gelenken . Durch Variieren von und können bezüglich Größe und Form unterschiedliche Ellipsen gezeichnet werden. So ist die Länge der großen Halbachse und die Länge der kleinen Halbachse .[4]

Die Geschichte dieses Mechanismus ist nicht gesichert. Es wird angenommen, dass Proklos den Mechanismus kannte,[5] aber eventuell war der Mechanismus bereits zu archimedischen Zeiten bekannt.

Es existiert ein britisches Patent für diesen Mechanismus von 1894.[6]

Der Mechanismus ist auch bekannt als:

  • Archimedischer Ellipsograph[7]
  • Der Ellipsograph des Proklos[8]

Mathematische GrundlagenBearbeiten

 
Skizze vom Ellipsograph mit den Kenngrößen und eingezeichnetem Viertel der Ellipse,[9] Animation, Start nach 30 s Pause

Wie in der nebenstehenden Skizze zu sehen ist, hat die Strecke   die gleiche Länge wie die horizontale Halbachse   und die Strecke   die gleiche Länge wie die vertikale Halbachse   der Ellipsenlinie  .[5] Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke   und   zueinander ähnlich sind, ist folgerichtig der Winkel   der Z-Winkel von  .

Für die allgemeine Bestimmung des Punktes   im kartesischen Koordinatensystem gilt nach dem Satz des Pythagoras

 , daraus folgt
 ,
 , somit ist
 .

Die mit dem Mechanismus vom Ellipsographen und dem Zeichenstift im Punkt   erzeugbare Linie ist eine sogenannte Ellipse in der 1. Hauptlage, denn wird für die (horizontale) große Halbachse   die Länge   sowie für die (vertikale) kleine Halbachse   die Länge   eingesetzt, entspricht die gefundene Gleichung der für die Ellipse in der 1. Hauptlage:

 .

Äquivalenz zu den Cardanischen KreisenBearbeiten

 
Cardanische Kreise (schwarz) und Ellipsograph (grau). Der Momentanpol ist mit einem pinkfarbenen Punkt markiert. Zwei beispielhafte Ellipsen erscheinen rot und hellblau.

Als Cardanische Kreise bezeichnet man eine geometrische Anordnung, bei der ein kleiner Kreis in einem doppelt so großen feststehenden Kreis abrollt. Die ausgeführte Bewegung ist dieselbe, die der Zeichenarm ausführt. Die Strecke   liegt hierbei auf einem Durchmesser des kleinen Kreises. Somit kann mit einem Spirograph eine Ellipse[10] erzeugt werden, wenn das innere Zahnrad halb so viele Zähne hat wie das Hohlrad, in dem es abrollt. Diese Analogie veranschaulicht auch, dass sich der Momentanpol des Zeichenarms auf dem Außenkreis mit dem Radius   bewegt.

AnwendungenBearbeiten

Der Mechanismus wurde als Physikspielzeug für Kinder verkauft.[11]

Ein US-Patent benutzt das Prinzip des Ellipsographen für einen Ellipsenschneider.[12]

VariantenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Ellipsenzirkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ellipsenzirkel. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 5. Leipzig 1906, S. 720–721, abgerufen am 6. April 2017.
  2. Franz Reuleaux: Theoretische Kinematik: Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens. 1875, S. 318 (Volltext in der Google-Buchsuche).
  3. Franz Reuleaux, Alexander Kennedy: Kinematics of Machinery: Outlines of a Theory of Machines. 1876, S. 318, Fig. 248 (siehe Fußnote) (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche).
  4. Lueger, Otto: Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 3. Stuttgart, Leipzig 1906, S. 436–437, Fig. 2, abgerufen am 8. April 2017.
  5. a b Lueger, Otto: Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 3. Stuttgart, Leipzig 1906, S. 436–437, abgerufen am 6. April 2017.
  6. Patent GB189402496: Ellipsograph. Angemeldet am 5. Mai 1894, Erfinder: Heinel Gustav, Barth Carl.Text, Zeichnung (S. 3)
  7. Archimedischer Ellipsograph. Do-it-yourSciences, Die Plattform für wissenschaftliche und pädagogische Werkarbeiten, 16. März 2010, abgerufen am 6. April 2017.
  8. Der Ellipsograph des Proklos. Kotsanas Museum of Ancient Greek Technology aus Die kinematischen geometrischen Mechanismen der Griechen der Antike, abgerufen am 6. April 2017.
  9. Lueger, Otto: Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 3. Stuttgart, Leipzig 1906, S. 436–437, Fig. 1, abgerufen am 8. April 2017.
  10. Lueger, Otto: Cardanische Kreise. Zeno.org MEINE BIBLIOTHEK; aus Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 2. Stuttgart, Leipzig 1905, → Von De la Hire wurde nachgewiesen … S. 423–424, Fig. 1, abgerufen am 13. April 2017.
  11. Entertainment Center: Kentucky Do-Nothing. Scott Kraft, 22. März 2009, abgerufen am 6. April 2017.
  12. Patent US4306598: Ellipse cutting machine, siehe Fig. 1 und Fig. 2. Angemeldet am 26. Juni 1980, veröffentlicht am 22. Dezember 1981, Erfinder: David G. Peot.