Statistisches Modell

Begriff der mathematischen Statistik

Ein statistisches Modell, manchmal auch statistischer Raum genannt, ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik, dem Teilbereich der Statistik, der sich der Methoden der Stochastik und Wahrscheinlichkeitstheorie bedient. Anschaulich fasst ein statistisches Modell alle Ausgangsinformationen zusammen: Welche Werte können die Daten annehmen, welchen Mengen von Werten soll eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden und welche Wahrscheinlichkeitsmaße sind möglich beziehungsweise sollen in Betracht gezogen werden?

DefinitionBearbeiten

Ein statistisches Modell   ist ein Tripel   bestehend aus

  • einer Grundmenge  , die alle möglichen Ergebnisse des Experiments enthält,
  • einer σ-Algebra   auf der Grundmenge   und
  • einer Menge   von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf  

Oftmals ist es handlicher, die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen als Familie (mit beliebiger Indexmenge) zu notieren, um auf ausgewiesene Elemente leichter zugreifen zu können. Die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen wird dann auch mit   notiert. Dies bedeutet nicht zwangsläufig, dass es sich um ein parametrisches Modell handelt.

Alternative DefinitionenBearbeiten

Es existieren mehrere alternative Definitionen eines statistischen Modells, die sich in ihrer Detailliertheit unterscheiden.

Einerseits findet sich die Beschreibung eines statistischen Modells als eine Zufallsvariable  , die Werte in dem Messraum   annimmt entsprechend den Verteilungen aus  [1]. Der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum der Zufallsvariable wird nicht näher präzisiert, da er für die Verteilungen nicht relevant ist. Diese Beschreibung macht im Gegensatz zur obigen Beschreibung klarer, dass die Stichproben, also die Elemente aus  , als Realisierung einer Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung zu sehen sind. Die Menge   heißt dann auch Stichprobenraum.

Andererseits findet sich auch die Beschreibung eines statistischen Modells lediglich als Familie oder Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen  [2]. Der entsprechende Grundraum ergibt sich dann implizit aus den definierten Wahrscheinlichkeitsmaßen, die verwendete σ-Algebra ist entsprechend die kanonische Wahl (Potenzmenge im diskreten Fall, Borelsche σ-Algebra sonst).

Klassifikation statistischer ModelleBearbeiten

Parametrische und nichtparametrische ModelleBearbeiten

Lässt sich die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen über eine Parametermenge, auch Parameterraum genannt, beschreiben, ist also

 

für eine Parametermenge  , so spricht man von einem parametrischen Modell, ansonsten von einem nichtparametrischen Modell. Ist  , so spricht man von einem einparametrigen Modell.

Diskrete ModelleBearbeiten

Ist   endlich oder abzählbar unendlich und ist   die Potenzmenge, so spricht man von einem diskreten Modell. Die Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich dann durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen beschreiben.

Stetige ModelleBearbeiten

Ist   eine Borel-Menge des   und ist   die Einschränkung der Borelschen σ-Algebra auf diese Menge, also   und besitzt jedes der Wahrscheinlichkeitsmaße in   eine Wahrscheinlichkeitsdichte, so spricht man von einem stetigen Modell.

StandardmodelleBearbeiten

Handelt es sich um ein stetiges Modell oder um ein diskretes Modell, so spricht man von einem Standardmodell[3]. Bei Standardmodellen existiert also insbesondere eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Manche Autoren nennen diese Modelle auch reguläre Modelle[4].

Reguläre ModelleBearbeiten

Reguläre statistische Modelle sind einparametrige Standardmodelle, bei denen noch Anforderungen an die Existenz von Ableitungen der Dichtefunktion gestellt werden. Sie werden zur Formulierung der Cramér-Rao-Ungleichung benötigt.

Lokations- und SkalenmodelleBearbeiten

Statistische Modelle, deren Verteilungsklasse eine Lokationsklasse ist, also durch Verschiebung einer einzigen Wahrscheinlichkeitsverteilung entstehen, werden Lokationsmodelle genannt, ebenso werden statistische Modelle mit Skalenfamilien Skalenmodell genannt.

ProduktmodelleBearbeiten

Produktmodelle entstehen, wenn man das mehrmalige Produkt eines statistisches Modell mit sich selbst bildet. Sie formalisieren die Vorstellung, dass man einen Versuch mehrmals hintereinander ausführt und die Ergebnisse der Einzelversuche sich nicht gegenseitig beeinflussen. Viele der gängigen Modelle wie das Normalverteilungsmodell sind Produktmodelle.

BeispieleBearbeiten

Ein Beispiel für ein statistisches Modell ist der Grundraum   versehen mit der σ-Algebra   und als Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße die Menge

 

aller Binomialverteilungen mit Parametern 100 und  . Dieses statistische Modell könnte man beispielsweise wählen, wenn man eine Münze 100 mal wirft und die Anzahl der Erfolge zählt. Diese ist binomialverteilt, aber zu einem unbekannten Parameter, da nicht klar ist, ob die Münze gefälscht ist oder nicht. Es handelt sich bei diesem Modell um ein einparametriges Modell, da   ist. Außerdem ist es ein diskretes Modell, da die Grundmenge endlich ist und die σ-Algebra durch die Potenzmenge definiert wird. Damit ist es auch automatisch ein Standardmodell. Die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen

 ,

ergibt hingegen ein nichtparametrisches Modell.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 18.
  2. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 39.
  3. Georgii: Stochastik. 2009, S. 197.
  4. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 41, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.