Zufallsvektor

Als Zufallsvektor bezeichnet man in der Stochastik eine Funktion, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist, Werte im annimmt und messbar ist. Zufallsvektoren bilden das höherdimensionale Pendant von reellwertigen Zufallsvariablen. Viele der Eigenschaften von reellwertigen Zufallsvariablen übertragen sich direkt oder nach kleinen Modifikationen auf Zufallsvektoren.

Zufallsvektoren sollten nicht mit stochastischen Vektoren, auch Wahrscheinlichkeitsvektoren genannt, verwechselt werden. Bei ihnen handelt es sich um Vektoren aus , deren Einträge positiv sind und sich zu eins aufsummieren. Zufallsvektoren hingegen sind Abbildungen.

DefinitionBearbeiten

Es bezeichne   die Borelsche σ-Algebra. Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   eine natürliche Zahl größergleich zwei. Dann heißt eine Abbildung

 

für die

 

gilt ein  -dimensionaler Zufallsvektor.

Äquivalent sind folgende beiden Definitionen:

  •   ist eine messbare Funktion auf einem Wahrscheinlichkeitsraum nach  , versehen mit der Borelschen σ-Algebra.
  • Es ist   für reellwertige Zufallsvariablen   auf dem Wahrscheinlichkeitsraum  . Diese Definition nutzt aus, dass eine Abbildung nach   genau dann messbar ist, wenn ihre Komponentenfunktionen messbar sind.

EigenschaftenBearbeiten

MomenteBearbeiten

Für einen Zufallsvektor   wird (bei Integrierbarkeit der Komponenten) der Erwartungswertvektor definiert als folgender Spaltenvektor

 

und ist somit der Vektor der Erwartungswerte der Komponenten.[1]

Für die zweiten Momente wird (bei Quadratintegrierbarkeit der Komponenten) die Kovarianzmatrix des Zufallsvektors definiert als diejenige  -Matrix, bei der in der  -ten Zeile und der  -ten Spalte die Kovarianz der Komponenten   und  , also

 .

UnabhängigkeitBearbeiten

Die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvektoren   und   wird analog zur Definition für reellwertige Zufallsvariablen definiert als die stochastische Unabhängigkeit der erzeugten σ-Algebren   und  .[2] Hierbei bezeichnet   die Initial-σ-Algebra von  .

VerteilungenBearbeiten

Die Verteilung eines Zufallsvektors wird eine Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt und ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem  . Sie ist genau die gemeinsame Verteilung der Komponenten des Zufallsvektors.

Stetige und diskrete ZufallsvektorenBearbeiten

Analog zu reellwertigen Zufallsvariablen nennt man einen Zufallsvektor, dessen Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion besitzt einen stetigen Zufallsvektor.[3] Ebenso wird ein Zufallsvektor, der nur abzählbar viele Werte annimmt ein diskreter Zufallsvektor genannt.[4]

VerteilungsfunktionBearbeiten

Wie auch reellwertigen Zufallsvariablen lassen sich Zufallsvektoren Verteilungsfunktionen zuweisen. Sie werden multivariate Verteilungsfunktionen genannt.

KonvergenzBearbeiten

Konvergenz in Verteilung, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und Fast sichere Konvergenz lassen sich problemlos auf Zufallsvektoren übertragen, da sie meist zumindest für separable metrische Räume definiert werden und diese Definitionen demnach auch für den   gültig sind.

Lediglich die Charakterisierung der Verteilungskonvergenz über die Verteilungsfunktion ist nicht mehr möglich. Der Stetigkeitssatz von Lévy hingegen gilt aber weiterhin.

Satz von Cramér-WoldBearbeiten

Die folgende Aussage ermöglicht es, die Konvergenz in Verteilung in   auf die Konvergenz in Verteilung in   zu reduzieren. Sie wird als Satz von Cramér-Wold oder Cramér-Wold-Device (dt. Cramér-Wold-Hilfsmittel) bezeichnet.

Es bezeichnet   das Standardskalarprodukt. Sei   eine Folge von Zufallsvektoren in  . Dann ist äquivalent:[5]

  • Die   konvergieren in Verteilung gegen  
  • Für jedes   existiert eine reellwertige Zufallsvariable  , so dass   in Verteilung gegen   konvergiert.

Gilt eine von beiden Aussagen (und somit beide), so besitzt   für alle   dieselbe Verteilung wie  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

Eine mögliche Verallgemeinerung eines Zufallsvektoren ist eine Zufallsmatrix. Sie ist eine matrixwertige Zufallsvariable, ihre Verteilung wird eine matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 130.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 95.
  3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 178.
  4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 96.
  5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 335.