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Unabhängige Mengensysteme werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik betrachtet. Die Unabhängigkeit von Mengensystemen ist eine Verallgemeinerung der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen und dient zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Somit gehören unabhängige Mengensysteme zu den Grundbegriffen der Stochastik und sind ein Baustein für viele Voraussetzungen von wichtigen Sätzen der Statistik und Stochastik.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum  , das heißt eine σ-Algebra   auf der Grundmenge   und ein Wahrscheinlichkeitsmaß  . Des Weiteren sei   eine beliebige Indexmenge und für jeden Index   sei ein Mengensystem   gegeben.

Die Familie von Mengensystemen   heißt nun genau dann unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge   und jede mögliche Wahl   von Ereignissen mit   diese Ereignisse stochastisch unabhängig sind, das heißt, falls jeweils gilt

 .

BeispieleBearbeiten

  • Ist   und  , so sind die Mengensysteme genau dann unabhängig, wenn die beiden Ereignisse   und   unabhängig sind. Es ist  , daher sind die Fälle   und   zu überprüfen. Der Fall   ist trivial.
  1. Ist  , so ist mit   immer  , da das Mengensystem einelementig ist. Die Aussage ist also immer wahr. Analog folgt der Fall  .
  2. Ist  , so ist wieder unter der Ausnutzung der Einelementigkeit der Mengensysteme ( )
 
aufgrund der Unabhängigkeit von   und  .
  • Ist allgemeiner   eine Familie von Ereignissen und definiert man die Familie von Mengensystemen als einelementige Mengensysteme durch   für alle  , so ist die Familie von Mengensystemen genau dann unabhängig, wenn die Familie von Ereignissen unabhängig ist. Diese Äquivalenz wird teilweise auch zur Definition der Unabhängigkeit von Ereignissen verwendet.
  • Eine σ-Algebra   auf einem Wahrscheinlichkeitsraum heißt P-triviale σ-Algebra, wenn für alle   entweder   oder   gilt. P-triviale σ-Algebren sind von jedem Mengensystem unabhängig. Denn ist   und  , so ist   für beliebiges   aus einem weiteren Mengensystem  . Ebenso gilt dann auch  , wenn   ist. Also sind   und   unabhängig.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   eine disjunkte Zerlegung von   (das heißt, es ist   für alle   und es ist  ) und ist die Familie von Mengensystemen   unabhängig, so ist die Familie von Mengensystemen definiert durch
 
unabhängig.
  • Für endliches   gilt: Enthält jedes der Mengensysteme bereits die Obermenge  , so sind sie genau dann unabhängig, wenn
 
für alle  . Es genügt dann also, die definierende Gleichung nur für die gesamte Indexmenge zu überprüfen. Für   folgt die Gleichung dann automatisch, wenn man für   immer   setzt.
  • Ist für jedes   das Mengensystem   ein durchschnittsstabiles Mengensystem, so ist   genau dann unabhängig, wenn die erzeugten σ-Algebren   unabhängig sind.

VerwendungBearbeiten

Unabhängige Mengensysteme werden verwendet, um die Unabhängigkeit auf Zufallsvariablen zu übertragen. Seien ein Wahrscheinlichkeitsraum   und zwei Messräume   sowie zwei Zufallsvariablen   von   nach   bzw.   gegeben. Wenn die beiden von den Zufallsvariablen erzeugten Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind, dann heißen die Zufallsvariablen unabhängig. Dies kann auch auf Familien von Zufallsvariablen verallgemeinert werden.

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen und MengensystemenBearbeiten

Im Rahmen des bedingten Erwartungswertes wird teilweise auch von der Unabhängigkeit einer Zufallsvariable   und eines Mengensystems   gesprochen. Die Zufallsvariable und das Mengensystem heißen unabhängig, wenn das Mengensystem   und die Initial-σ-Algebra   der Zufallsvariable unabhängige Mengensysteme im obigen Sinn sind.

VerallgemeinerungBearbeiten

Die Unabhängigkeit von σ-Algebren lässt sich mittels des bedingten Erwartungswertes zur bedingten Unabhängigkeit erweitern. Sie existiert auch für Zufallsvariablen.

LiteraturBearbeiten