Eine multivariate Verteilungsfunktion ist eine reellwertige Funktion in der Stochastik, die zur Untersuchung von multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und der Verteilung von Zufallsvektoren herangezogen wird. Sie ist das höherdimensionale Pendant der univariaten Verteilungsfunktion und erlangt wie diese ihre Bedeutung dadurch, dass sich nach dem Korrespondenzsatz die multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen eindeutig durch ihre multivariate Verteilungsfunktion charakterisieren lassen. Damit lässt sich die Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit maßtheoretischen Methoden auf die leichter zugängliche Untersuchung von reellwertigen Funktionen mit Methoden der mehrdimensionalen reellen Analysis reduzieren.

Neben der Bezeichnung als multivariate Verteilungsfunktion findet sich auch n-dimensionale Verteilungsfunktion,[1] oder mehrdimensionale Verteilungsfunktion als Bezeichnung. Zu beachten ist, dass in der Maßtheorie der Begriff der Verteilungsfunktionen auch für unnormalisierte Verteilungsfunktionen verwendet wird.[2]

Notationen

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Für Vektoren   aus   sind die Vergleichsoperationen komponentenweise zu verstehen, also

  genau dann wenn   für alle  .

Des Weiteren sei für  

 

beziehungsweise über die Komponenten definiert

 

Definition

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Mit den obigen Notationen überträgt sich die Definition der multivariaten Verteilungsfunktion im Wesentlichen direkt von der univariaten Verteilungsfunktion.

Definition über ein Wahrscheinlichkeitsmaß

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Ist   eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung, also ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  , so heißt die Funktion

 

definiert durch

 

die multivariate Verteilungsfunktion von  .

Definition für einen Zufallsvektor

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Ist   ein  -dimensionaler Zufallsvektor, so heißt

 

definiert durch

 

die multivariate Verteilungsfunktion von  . Die multivariate Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors ist somit genau die multivariate Verteilungsfunktion der Verteilung des Zufallsvektors.

Gängig ist auch die komponentenweise Definition als

 ,

wobei   ist. Somit ist die multivariate Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors genau die gemeinsame Verteilungsfunktion der Komponenten.

Eigenschaften

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Für jede Verteilungsfunktion   gilt:

  • Rechtsstetigkeit: sie ist in jeder ihrer Variablen rechtsseitig stetig
  • Rechtecksmonotonie: Sie ist rechtecksmonoton, das heißt, dass aus   immer   folgt. Zur Schreibweise   siehe Differenz-Operator.
  • Normalisierung:
 

Umgekehrt gilt nach der multivariaten Version des Korrespondenzsatzes (welcher aus dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory folgt), dass jede Funktion, welche die obigen Bedingungen erfüllt, Verteilungsfunktion eines eindeutig bestimmten multivariaten Wahrscheinlichkeitsmaßes ist.

Für die  -te Randverteilungsfunktion gilt

 .

Ein  -dimensionaler Zufallsvektor   heißt stetig verteilt, falls es eine integrierbare Dichte   gibt, sodass für alle   und eine messbare Funktion  

 

gilt.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 107.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 74–75.