Multivariate Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung von mehr als einer Zufallsvariablen

Eine multivariate Verteilung ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in der Statistik die Verteilung eines Zufallsvektors, also einer Zufallsvariablen, deren Werte Vektoren im sind. Im zweidimensionalen Fall spricht man auch von einer bivariaten Verteilung. Die multivariate Verteilung eines Zufallsvektors ist somit ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf , das messbaren Teilmengen die Wahrscheinlichkeit zuordnet, dass einen Wert aus annimmt. Eine multivariate Verteilung kann durch eine multivariate Verteilungsfunktion charakterisiert werden. Die Verteilungen der einzelnen Komponenten eines Zufallsvektors werden die Randverteilungen von genannt. Beispiele für multivariate Verteilungen sind die Multinomialverteilung oder die multivariate Normalverteilung, weitere finden sich in der Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Einführendes BeispielBearbeiten

Wir betrachten zwei Zufallsexperimente:

  1. Zweimaliges Würfeln mit einem idealen Würfel. Dies ist äquivalent zu einem Urnenexperiment mit sechs unterscheidbaren Kugeln, wobei zweimal mit Zurücklegen gezogen wird. Es gibt 36 mögliche Ergebnispaare (da wir die Reihenfolge des Würfelns bzw. der Ziehung berücksichtigen), und alle 36 Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich, haben also eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.
  2. Ein ähnliches Urnenexperiment, aber ohne Zurücklegen. In diesem Fall kommen die Ergebnisse (1,1), (2,2), …, (6,6) nicht vor, da die i-te Kugel beim zweiten Ziehen nicht vorkommen kann, wenn sie bereits bei der ersten Ziehung herausgenommen wurde. Die übrigen 30 Paare sind gleich wahrscheinlich und haben daher die Wahrscheinlichkeit 1/30.

Diese beiden Experimente ergeben nun zweidimensionale diskrete Zufallsvariablen   und  , welche die gleichen Randverteilungen haben (jede Zahl von 1 bis 6 ist bei beiden Experimenten in beiden Ziehungen gleich wahrscheinlich und tritt mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auf).

Jedoch sind die beiden Ziehungen im ersten Experiment unabhängig, da die gezogene Kugel zurückgelegt wird, während sie im zweiten Experiment nicht unabhängig sind. Das wird am deutlichsten, wenn man sich klarmacht, dass die Paare (1,1), (2,2), …, (6,6) bei einem unabhängigen Experiment jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/36 vorkommen müssen (Produkt der Randwahrscheinlichkeiten 1/6), sie aber beim zweiten Experiment überhaupt nicht auftreten können (Wahrscheinlichkeit 0 haben), da die Kugel nicht zurückgelegt wird.

Die Verteilungen von   und   sind daher verschieden; es handelt sich also um ein Beispiel zweier unterschiedlicher diskreter multivariater Verteilungen mit gleichen Randverteilungen.

Bivariate VerteilungBearbeiten

 
10000 Stichproben einer mit der Clayton-Copula modellierten bivariaten Verteilung (mit  ), bei der die Randverteilungen eindimensionale Standardnormalverteilungen sind

Die Realisationen eines bivariaten Zufallsvektors (einer zweidimensionalen Zufallsvariablen)   sind Vektoren in  . Die bivariate Verteilung des Zufallsvektors   liegt durch die Angabe der Wahrscheinlichkeiten

 

fest, wobei   die Borelsche σ-Algebra auf   bezeichnet. Durch   für alle   ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß   definiert, das   zu einem Wahrscheinlichkeitsraum macht.   ist die bivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz bivariate Verteilung von  .

Bivariate VerteilungsfunktionBearbeiten

Die Verteilung des Zufallsvektors   liegt bereits dann fest, wenn die Wahrscheinlichkeiten

 

gegeben sind. Dies motiviert das Konzept der bivariaten Verteilungsfunktion des Zufallsvektors  , die durch

 

definiert ist. Durch Angabe der Funktion   liegt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von   fest, da sich aus den durch die Verteilungsfunktion angegebenen Wahrscheinlichkeiten mit den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Wahrscheinlichkeiten aller anderen Ereignisse ergeben.

Bivariate DichtefunktionBearbeiten

Falls der Zufallsvektor Z eine bivariate (oder zweidimensionale) Dichtefunktion   besitzt, dann besteht zwischen der bivariaten Verteilungsfunktion und der bivariaten Dichtefunktion der Zusammenhang

 .

Somit liegt durch die Angabe einer bivariaten Dichtefunktion die bivariate Verteilungsfunktion und damit die bivariate Verteilung fest.

Bivariate Verteilung und bedingte WahrscheinlichkeitenBearbeiten

Wenn die Zufallsvariable diskret ist, dann kann man die gemeinsame Verteilung mit Hilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten so schreiben:

 

und im stetigen Fall entsprechend

 

Hier sind   und   die bedingten Dichten (  unter der Bedingung  , bzw. von   unter der Bedingung  ) und   die Dichten der Randverteilungen von   und  .

Stochastische UnabhängigkeitBearbeiten

Die Komponenten des Zufallsvektors   sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn

 

gilt. Anderenfalls liegt stochastische Abhängigkeit vor. Wenn für diskrete Zufallsvariablen

 

gilt oder wenn für stetige Zufallsvariablen

 

gilt, dann sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig.

In der Abbildung ist ein Beispiel für die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur mit Hilfe von Copulas gezeigt. Insbesondere ist das ein Beispiel dafür, dass eine bivariate Zufallsvariable mit normalen Randverteilungen nicht bivariat normalverteilt sein muss.

Der allgemeine mehrdimensionale FallBearbeiten

Multivariate Verteilungen ordnen einem geeigneten Teilmengensystem von  , dem sogenannten Ereignissystem, Wahrscheinlichkeiten zu. Typischerweise wird als Ereignissystem die Borelsche σ-Algebra auf   gewählt, die mit   bezeichnet wird. Aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Sicht gilt: „Multivariate Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsmaße auf  .“[1]

Bei Anwendungen, insbesondere im Bereich der Statistik, steht ein Zufallsvektor (eine n-dimensionale Zufallsvariable),   im Vordergrund, dessen Komponenten Zufallsvariablen sind. Der Zufallsvektor   besitzt dann eine multivariate Verteilung, die das Bildmaß   von   unter   ist. Dabei gilt

 

VerteilungsfunktionBearbeiten

Die Verteilungsfunktion   einer multivariaten Verteilung   ist durch

 

definiert.[2]

Die Verteilungsfunktion   eines Zufallsvektors   ist durch

 

definiert.[3]

Besitzt der Zufallsvektor   eine Dichtefunktion  , dann hängen die Verteilungsfunktion   und die Dichte   über

 

zusammen.[3]

RandverteilungenBearbeiten

Es gibt für Randverteilungen mehr Möglichkeiten als im zweidimensionalen Fall, da nun Randverteilungen für jede niedrigere Dimension   existieren und man   Möglichkeiten hat, einen k-dimensionalen Teilvektor aus einem n-dimensionalen Vektor auszuwählen. Beispielsweise gibt es im dreidimensionalen Fall zur Verteilung des Zufallsvektors   die drei eindimensionale Randverteilungen der Komponenten  ,   und   sowie die drei zweidimensionale Randverteilungen der Teilvektoren  ,   und  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, New York 1996, ISBN 3-11-008509-7.
  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt: Multivariate Statistik. Oldenbourg, München/Wien 1999, ISBN 3-486-25287-9.
  • K. V. Mardia, J. T. Kent, J. M. Bibby: Multivariate Analysis. Acad. Press, New York 1979, ISBN 0-12-471250-9 (engl.).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 292.
  2. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 294.
  3. a b K. V. Mardia, J. T. Kent und J.M. Bibby: Multivariate Analysis. Academic Press, Amsterdam 1979, ISBN 0-12-471252-5, S. 26.