Lévy-Verteilung

Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.

DefinitionBearbeiten

 
Lévy-Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und μ=0

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

 ., mit den beiden Parametern  .
  •   ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der  -Achse;
  •   ist ein Skalenparameter (Stauchung für  ; Streckung für  ).

Standard-Lévy-VerteilungBearbeiten

Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten  ; ihre Dichtefunktion lautet damit:

 .

EigenschaftenBearbeiten

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:

 

(hier mit  ) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen  . Da die Theorie der  -stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

MomenteBearbeiten

Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt  . Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

AnwendungBearbeiten

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes (PDF; 282 KB) University of Sheffield. S. 37–53. 22. Juli 2010. Abgerufen am 13. Juni 2014.
  2. Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006. Abgerufen am 13. Juni 2014.