Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, der Mathematik des Zufalls. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Definition Bearbeiten

Eine diskrete Zufallsgröße $X\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}$ genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter $p$ (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

\operatorname {P} (X=k)=f(k)=-{\frac {p^{k}}{k}}\cdot {\frac {1}{\ln(1-p)}}

besitzt.

Eigenschaften Bearbeiten

Erwartungswert Bearbeiten

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

\operatorname {E} (X)=-{\frac {p}{(1-p)\ln(1-p)}}

.

Varianz Bearbeiten

Die Varianz bestimmt sich zu

\operatorname {Var} (X)=-{\frac {p\cdot (\ln(1-p)+p)}{(1-p)^{2}\ln ^{2}(1-p)}}

.

Variationskoeffizient Bearbeiten

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {-{\frac {p}{\ln(1-p)+p}}}}

.

Schiefe Bearbeiten

Die Schiefe ergibt sich zu:

\operatorname {v} (X)={\frac {1}{\sqrt {p(-\ln(1-p)-p)}}}\left({\frac {\ln ^{2}(1-p)}{-\ln(1-p)-p}}+p(-\ln(1-p)-2p)\right)

.

Charakteristische Funktion Bearbeiten

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi _{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{is})}{\ln(1-p)}}

.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Bearbeiten

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

g_{X}(s)={\frac {\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}}

.

Momenterzeugende Funktion Bearbeiten

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

m_{X}(s)={\frac {\ln(1-pe^{s})}{\ln(1-p)}}

.

Iterative Berechnung Bearbeiten

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

f(k+1)={\frac {kp}{k+1}}f(k)

mit Startwert

f(1)={\frac {-p}{\ln(1-p)}}

.

Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Beziehung zu anderen Verteilungen Bearbeiten

Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.

Literatur Bearbeiten

Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

Weblinks Bearbeiten

Eric W. Weisstein: Logarithmic Distribution. In: MathWorld (englisch).