Logarithmische Verteilung

Die logarithmische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist univariat, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kommt aus dem Bereich der Versicherungsmathematik. Sie ist interessant als Schadenshöhenverteilung, wird aber kaum zur Bestimmung der Schadensanzahlen benutzt.

Wahrscheinlichkeitsfunktion der logarithmischen Verteilung für (blau), (grün) und (rot)

DefinitionBearbeiten

Eine diskrete Zufallsgröße   genügt der logarithmischen Verteilung mit dem Parameter   (Erfolgswahrscheinlichkeit), wenn sie die Wahrscheinlichkeit

 

besitzt.

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Die logarithmische Verteilung hat einen Erwartungswert von

 .

VarianzBearbeiten

Die Varianz bestimmt sich zu

 .

VariationskoeffizientBearbeiten

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten

 .

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe ergibt sich zu:

 .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion hat die Form

 .

Wahrscheinlichkeitserzeugende FunktionBearbeiten

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

 .

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion der logarithmischen Verteilung ist

 .

Iterative BerechnungBearbeiten

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gilt die rekursive Gleichung

 

mit Startwert  . Dies kann zur effektiven Implementierung von logarithmisch verteilten Zufallszahlen genutzt werden.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Kombiniert man die logarithmische Verteilung mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung, so entsteht die negative Binomialverteilung und damit als Spezialfall auch die geometrische Verteilung.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten