Gumbel-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Rossi-Verteilung und die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört.

DefinitionBearbeiten

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter $\beta >0$ und Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)={\frac {1}{\beta }}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}

und damit die Verteilungsfunktion

F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}

besitzt.

Standard-FallBearbeiten

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter $\mu =0$ und $\beta =1$ gemeint. Damit ergibt sich die Dichte

f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}

und die Verteilungsfunktion

F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}

Durch die affin-linearen Transformationen $X\mapsto Y:=a+bX$ erhält man die ganze oben angegebene Klasse von Verteilungen mit den Eigenschaften

F_{Y}(x)=F\left({\frac {x-a}{b}}\right)

f_{Y}(x)={\frac {1}{b}}f\left({\frac {x-a}{b}}\right)

\operatorname {E} (Y)=b\operatorname {E} (X)+a

\operatorname {Var} (Y)=b^{2}\operatorname {Var} (X)

.

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

\operatorname {E} (X)=\mu +\beta \gamma

.

Dabei ist $\gamma \approx 0{,}5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

VarianzBearbeiten

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

\operatorname {Var} (X)={\frac {(\pi \beta )^{2}}{6}}

.

StandardabweichungBearbeiten

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

\sigma ={\frac {\pi \beta }{\sqrt {6}}}

.

AnwendungBearbeiten

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
Verkehrsplanung
Meteorologie (Wettervorhersage)

Die Gumbel-Verteilung ist eine typische Verteilungsfunktion für jährliche Serien. Sie kann nur auf Reihen angewendet werden, bei denen die Länge der Messreihe mit dem Stichprobenumfang übereinstimmt. Ansonsten erhält man negative Logarithmen.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur ExtremwertverteilungBearbeiten

Als Doppelexponentialverteilung wird der Spezialfall der Extremwertverteilung mit $\xi =0$ (also die Gumbel-Verteilung) bezeichnet^[1]. Die Verteilungsfunktion hat dann die Form (bei $\mu =0,\beta =1$ )

F_{P}(x)=\exp(-\exp(-x))).

WeblinksBearbeiten

Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld.

EinzelnachweiseBearbeiten

↑ Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

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