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Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Rossi-Verteilung und die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße   genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalierungsparameter   und Lageparameter  , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

 

und damit die Verteilungsfunktion

 

besitzt.

Standard-FallBearbeiten

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter   und   gemeint. Damit ergibt sich die Dichte

 

und die Verteilungsfunktion

 

Durch die affin-linearen Transformationen   erhält man die ganze oben angegebene Klasse von Verteilungen mit den Eigenschaften

 
 
 
 .

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

 .

Dabei ist   die Euler-Mascheroni-Konstante.

VarianzBearbeiten

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

 .

StandardabweichungBearbeiten

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

 .

AnwendungBearbeiten

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

Die Gumbel-Verteilung ist eine typische Verteilungsfunktion für jährliche Serien. Sie kann nur auf Reihen angewendet werden, bei denen die Länge der Messreihe mit dem Stichprobenumfang übereinstimmt. Ansonsten erhält man negative Logarithmen.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur ExtremwertverteilungBearbeiten

Die Gumbel-Verteilung ergibt sich aus der Extremwertverteilung mit den Parametern  ,   und  .

WeblinksBearbeiten