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Dichtefunktion der Gleichverteilung für (blau), (grün) und (rot)

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung, kontinuierliche Gleichverteilung, oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Möglichkeit, die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 1 zu simulieren, bildet die Basis zur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels der Inversionsmethode oder der Verwerfungsmethode.

DefinitionBearbeiten

Eine stetige Zufallsvariable   bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall  , wenn Dichtefunktion   und Verteilungsfunktion   gegeben sind als

   
   

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig   oder   verwendet. In einigen Formeln sieht man auch   oder   als Bezeichnung für die Verteilung. Die stetige Gleichverteilung ist durch ihre ersten beiden zentralen Momente komplett beschrieben, d. h. alle höheren Momente sind aus Erwartungswert und Varianz berechenbar.

EigenschaftenBearbeiten

WahrscheinlichkeitenBearbeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf   gleichverteilte Zufallsvariable   in einem Teilintervall   liegt, ist gleich dem Verhältnis der Intervalllängen:

 .

Erwartungswert und MedianBearbeiten

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls  :

 
 .

VarianzBearbeiten

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

 

Standardabweichung und weitere StreumaßeBearbeiten

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

 .

Die mittlere absolute Abweichung beträgt  , und der Interquartilsabstand   ist genau doppelt so groß. Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft.

VariationskoeffizientBearbeiten

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

 .

SymmetrieBearbeiten

Die stetige Gleichverteilung ist symmetrisch um  .

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe lässt sich darstellen als

 .

Wölbung und ExzessBearbeiten

Die Wölbung   und der Exzess   lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als

  bzw.
 .

MomenteBearbeiten

 -tes Moment  
 -tes zentrales Moment  

Summe gleichverteilter ZufallsvariablenBearbeiten

 
Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen U(0,1)

Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen gleicher Träger-Breite ist dreiecksverteilt, andernfalls ergibt sich eine trapezförmige Verteilung. Genauer:

Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall  , die andere auf dem Intervall  . Sei   und  . Dann hat ihre Summe die folgende Trapezverteilung:

 

Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen auf dem Intervall [0;1] ist eine Irwin-Hall-Verteilung, sie nähert sich der Normalverteilung an (Zentraler Grenzwertsatz).

Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion hat die Form

 ,

wobei   die imaginäre Einheit darstellt.

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

 

und speziell für   und  

 

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur DreiecksverteilungBearbeiten

Die Summe von zwei unabhängigen und stetig gleichverteilten Zufallsvariablen hat eine Dreiecksverteilung.

Beziehung zur BetaverteilungBearbeiten

Sind   unabhängige auf   stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann haben die Ordnungsstatistiken   eine Betaverteilung. Genauer gilt

 

für  .

Simulation von Verteilungen aus der stetigen GleichverteilungBearbeiten

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn   eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise   der Exponentialverteilung mit dem Parameter  .

Verallgemeinerung auf höhere DimensionenBearbeiten

Die stetige Gleichverteilung lässt sich vom Intervall   auf beliebige messbare Teilmengen   des   mit Lebesgue-Maß   verallgemeinern. Man setzt dann

 

für messbare  .

Diskreter FallBearbeiten

Die Gleichverteilung ist auch auf endlichen Mengen definiert, dann heißt sie diskrete Gleichverteilung.

Beispiel für das Intervall [0, 1]Bearbeiten

Häufig wird   und   angenommen, also   betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion   auf dem Intervall   konstant gleich 1 und für die Verteilungsfunktion gilt dort  . Der Erwartungswert beträgt dementsprechend  , die Varianz   und die Standardabweichung  , wobei die letztgenannten beiden Werte auch für beliebige Intervalle   der Länge 1 gelten. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.

Ist   eine  -verteilte Zufallsvariable, dann ist

 

 -verteilt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten