Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung

Als symmetrische (Wahrscheinlichkeits-) Verteilungen bezeichnet man in der Stochastik spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass (im einfachsten Fall) die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner als zu erhalten, immer gleich groß ist wie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer als zu erhalten. Besitzt eine Zufallsvariable eine symmetrische Verteilung, so nennt man sie auch eine symmetrische Zufallsvariable.

DefinitionBearbeiten

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf   heißt symmetrisch (um Null), wenn für alle   gilt:

 

Analog heißt eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch (um Null), wenn die Verteilung von   mit der Verteilung von   übereinstimmt, es gilt also

  bzw.  .

Allgemeiner heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß   symmetrisch um  , wenn

 

für alle   gilt, ebenso wie eine reellwertige Zufallsvariable symmetrisch um   heißt, wenn

 

gilt.

Erste BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

Charakterisierung durch die VerteilungsfunktionBearbeiten

Die Symmetrie einer Zufallsvariablen/Verteilung kann auch über ihre Verteilungsfunktion charakterisiert oder definiert werden. Bezeichnet man mit   den linksseitigen Grenzwert an der Stelle  , so ist die Verteilung bzw. Zufallsvariable genau dann symmetrisch um Null, wenn

 

für alle   gilt und genau dann symmetrisch um  , wenn

 .

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und WahrscheinlichkeitsfunktionenBearbeiten

Die Symmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich auch direkt über die Wahrscheinlichkeits(dichte)funktionen der Verteilung definieren:

Median und MomenteBearbeiten

Das Symmetriezentrum stimmt immer mit einem Median überein, ebenso der Erwartungswert falls dieser existiert. Dies muss aber bei symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht immer der Fall sein wie die Standard-Cauchy-Verteilung zeigt: Sie ist symmetrisch um Null, ihr Erwartungswert existiert aber nicht.

Allgemein gilt: ist   eine um   symmetrische Zufallsvariable und existiert ihr  -tes Moment, so ist

 .

Charakteristische FunktionenBearbeiten

Die charakteristische Funktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist genau dann reellwertig, wenn die Verteilung symmetrisch um Null ist, und dann gilt

 .

Des Weiteren ermöglicht der Satz von Pólya die Konstruktion von Funktionen, die stets charakteristische Funktion einer um Null symmetrischen Verteilung sind.

Weitere symmetrische VerteilungenBearbeiten

Verteilung für Parameterwahl Symmetrisch um Bemerkung
Diskrete Verteilungen
Bernoulli-Verteilung     Für   siehe Dirac-Verteilung auf 0 bzw. 1
Binomialverteilung       Geht für   in die Dirac-Verteilung auf   bzw.   über, Symmetrien siehe dort.
Diskrete Gleichverteilung auf      
Rademacher-Verteilung -  
Zweipunktverteilung auf       Degenerierter Fall   siehe Dirac-Verteilung.
Absolutstetige Verteilungen
Normalverteilung    
Stetige Gleichverteilung auf   -  
Cauchy-Verteilung     Typisches Beispiel einer symmetrischen Verteilung ohne Erwartungswert
Studentsche t-Verteilung    
Betaverteilung auf      
Arcsin-Verteilung -  
Logistische Verteilung    
Stetigsinguläre Verteilungen und degenerierte Verteilungen
Cantor-Verteilung -  
Dirac-Verteilung      

LiteraturBearbeiten