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Der Variationskoeffizient (auch: Abweichungskoeffizient) ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik und der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zur Varianz ist er ein relatives Streuungsmaß, das heißt, er hängt nicht von der Maßeinheit der statistischen Variable bzw. Zufallsvariablen ab. Er ist nur sinnvoll für Messreihen mit ausschließlich positiven (oder ausschließlich negativen) Werten oder Messreihenvergleichen.[1]

Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem Mittelwert bzw. eine Zufallsvariable mit großem Erwartungswert im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung nicht normiert sind, kann ohne Kenntnis des Mittelwerts nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren.

Der Variationskoeffizient ist eine Normierung der Varianz: Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.

Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten.

Variationskoeffizient für eine ZufallsvariableBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Variationskoeffizient   für eine Zufallsvariable   mit Erwartungswert   ist definiert als die relative Standardabweichung, das heißt die Standardabweichung dividiert durch den Erwartungswert der Zufallsvariablen, in Formeln

 .

Der Variationskoeffizient wird häufig in Prozent angegeben.

BeispielBearbeiten

Die reelle Zufallsvariable   sei standardnormalverteilt, das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung von   haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizient kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable   hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von  .

Quadrierter Variationskoeffizient für eine ZufallsvariableBearbeiten

Die Varianz der Zufallsgröße   wird als quadrierter Variationskoeffizient   bzw.   bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe   gemessen wird.

 

Empirische VariationskoeffizientenBearbeiten

Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Messreihe von Werten   vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus empirischer Standardabweichung   und arithmetischem Mittel  :

 .

Gilt  , so kann ein normierter Variationskoeffizient definiert werden als

 ,

für den gilt  .[2]

Empirischer QuartilsdispersionskoeffizientBearbeiten

Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten

 ,

also der Interquartilsabstand dividiert durch den Median.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Variationskoeffizient – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Joachim Hartung: Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. 7. durchges. Auflage. Oldenbourg, 1989, ISBN 3-486-21448-9, S. 47.
  2. Wolfgang Kohn: Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-21677-3, S. 81.