Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)

Der Interquartilsabstand,[1] auch kurz Quartilsabstand genannt[2] und mit IQA[1] oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range)[3] abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Stichprobe

 

mit   Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also

 .

Des Weiteren sei   das untere Quartil und   das obere Quartil. Diese sind definiert als

  und  .

Hierbei bezeichnet   die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl   auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise   und  .

Der Interquartilsabstand ist dann definiert als[1]

 

und ist somit genau die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil.

BeispielBearbeiten

Betrachte die Stichprobe

 

mit   Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man

 .

Zur Bestimmung des unteren Quantils berechnet man  , was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition

 .

Analog folgt

 .

Damit erhält man für den Interquartilsabstand

 .

Aufbauende BegriffeBearbeiten

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQA[1] oder QD (nach der englischen Bezeichnung quartile deviation)[4] abgekürzt wird. Er ist definiert als[1]

 .

Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit

 .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d e Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 54, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
  2. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
  3. Eric W. Weisstein: Interquartile Range. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Quartile Deviation. In: MathWorld (englisch).