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Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)

Der Interquartilsabstand,[1] auch kurz Quartilsabstand genannt[2] und mit IQA[1] oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range)[3] abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Stichprobe

 

mit   Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also

 .

Des Weiteren sei   das untere Quartil und   das obere Quartil. Diese sind definiert als

  und  

Hierbei bezeichnet   die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl   auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise   und  .

Der Interquartilsabstand ist dann definiert als[1]

 

und ist somit genau die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil.

BeispielBearbeiten

Betrachte die Stichprobe

 

mit   Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man

 .

Zur Bestimmung des unteren Quantils berechnet man  , was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition

 .

Analog folgt

 .

Damit erhält man für den Interquartilsabstand

 .

Aufbauende BegriffeBearbeiten

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQA[1] oder QD (nach der englischen Bezeichnung quartile deviation)[4] abgekürzt wird. Er ist definiert als[1]

 

Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit

 

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c d e Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 54, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
  2. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
  3. Eric W. Weisstein: Interquartile Range. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Quartile Deviation. In: MathWorld (englisch).