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Gleichverteilung

Wikimedia-Begriffsklärungsseite

Der Begriff Gleichverteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit bestimmten Eigenschaften. Im diskreten Fall tritt jedes mögliche Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein, im stetigen Fall ist die Dichte konstant. Der Grundgedanke einer Gleichverteilung ist, dass es keine Präferenz gibt.

Beispielsweise sind die Ergebnisse beim Würfeln nach einem Wurf die sechs möglichen Augenzahlen: . Bei einem idealen Würfel beträgt die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Werte 1/6, da sie für jeden der sechs möglichen Werte gleich groß ist und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Diskreter FallBearbeiten

Hauptartikel: Diskrete Gleichverteilung

Sei   eine nichtleere endliche Menge. Dann ist bei einer Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit   eines Ereignisses   mit   durch die Laplace-Formel definiert:

 

Stetiger FallBearbeiten

Hauptartikel: Stetige Gleichverteilung

Sei   ein endliches reelles Intervall, also   für  . Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses   ist bei einer Gleichverteilung definiert als

 

wobei   das Lebesgue-Maß bezeichnet. Insbesondere gilt für ein Teilintervall  

 

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine stückweise konstante Funktion   mit:

 

Mit Hilfe der Indikatorfunktion des Intervalls   schreibt sich dies kürzer in der Form

 

In ähnlicher Weise kann man eine stetige Gleichverteilung auch auf beschränkten Teilmengen   des  -dimensionalen Raumes   erklären. Für ein Ereignis   erhält man die zum eindimensionalen Fall analoge Formel

 

wobei   das  -dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

  • Beim Werfen eines idealen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit jeder Augenzahl zwischen 1 und 6 gleich 1/6.
  • Beim Münzwurf einer idealen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für jede der beiden Seiten gleich 1/2.

Indifferenzprinzip von Laplace und die GleichverteilungBearbeiten

Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man erst einmal Gleichverteilung annehmen solle, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kennt (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum   für endliches Ω auch Laplace-Raum.[1]

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 22.