Gamma-Gamma-Verteilung

Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.

DefinitionBearbeiten

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung   ist bei  

 

wobei   die Eulersche Betafunktion ist.

EigenschaftenBearbeiten

Erwartungswert und VarianzBearbeiten

Der Erwartungswert ist

 , für  

und die Varianz

 , für  

ModusBearbeiten

Der Modus ist

 , für  

Sonderfall δ=1Bearbeiten

Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion

 

Da   wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem   Parameter  .

Sonderfall β=1: Inverse BetaverteilungBearbeiten

Eine Gamma-Gamma-Verteilung   entspricht einer inversen Betaverteilung  

Beziehung zur GammaverteilungBearbeiten

Ist der zweite Parameter   der Gammaverteilung   eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung   verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung   verteilt.

Beziehung zur ExponentialverteilungBearbeiten

Ist der Parameter   der Exponentialverteilung   eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung   verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung   verteilt.

LiteraturBearbeiten

  • Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Siehe auchBearbeiten