Gamma-Gamma-Verteilung

Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.

Definition Bearbeiten

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung $Gg(\alpha ,\beta ,\delta )$ ist bei $\alpha ,\beta ,\delta >0$

f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{B(\alpha ,\delta )}}{\frac {x^{\delta -1}}{(\beta +x)^{\alpha +\delta }}}

wobei $B(\alpha ,\beta )$ die Eulersche Betafunktion ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Erwartungswert und Varianz Bearbeiten

Der Erwartungswert ist

\operatorname {E} (X)={\frac {\delta \beta }{\alpha -1}}

, für

\alpha >1

und die Varianz

\operatorname {Var} (X)={\frac {\beta ^{2}\delta (\delta +\alpha -1)}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}=\operatorname {E} (X)^{2}{\frac {1+{\frac {\alpha -1}{\delta }}}{\alpha -2}}

, für

\alpha >2

Modus Bearbeiten

Der Modus ist

\operatorname {Mod} (X)={\frac {\beta \ (\delta -1)}{\alpha +1}}

, für

\delta >1

Sonderfall δ=1 Bearbeiten

Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion

f(x|\delta =1)={\frac {\alpha }{\beta +x}}\left({\frac {\beta }{\beta +x}}\right)^{\alpha }

Da $G(1,\lambda )=Exp(\lambda )$ wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem $G(\alpha ,\beta )$ Parameter $\lambda$ .

Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung Bearbeiten

Eine Gamma-Gamma-Verteilung $Gg(\alpha ,\beta =1,\delta )$ entspricht einer inversen Betaverteilung ${\mathcal {InvB}}(a=\delta ,b=\alpha )$

Beziehung zur Gammaverteilung Bearbeiten

Ist der zweite Parameter $\epsilon$ der Gammaverteilung $G(d,\epsilon )$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung $G(a,b)$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung $G(a,b,d)$ verteilt.

Beziehung zur Exponentialverteilung Bearbeiten

Ist der Parameter $\lambda$ der Exponentialverteilung $Exp(\lambda )$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung $G(a,b)$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung $G(a,b,1)$ verteilt.

Literatur Bearbeiten

Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Siehe auch Bearbeiten

Exponentialverteilung