Verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung

Die multivariate hypergeometrische Verteilung, auch verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung, allgemeine hypergeometrische Verteilung oder polyhypergeometrische Verteilung genannt, ist eine multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung und zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie ist eine multivariate Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung und kann aus dem Urnenmodell abgeleitet werden.

DefinitionBearbeiten

Eine Zufallsvariable   mit Werten in   heißt multivariat hypergeometrisch verteilt zu den Parametern   mit   und  , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

besitzt. Man schreibt dann   oder   wie bei der hypergeometrischen Verteilung.

Herleitung aus dem UrnenmodellBearbeiten

Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich anschaulich aus dem Urnenmodell herleiten. Gegeben sei eine Urne mit insgesamt   Kugeln, von denen jede in einer von   unterschiedlichen Farben eingefärbt ist. Von der Farbe   gibt es   Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, beim  -maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau   Kugeln der Farbe   zu ziehen, ist multivariat hypergeometrisch verteilt.

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Ist   die Anzahl der Kugeln der Farbe  , so ist der Erwartungswert

 

VarianzBearbeiten

Die Varianz ist

 

KovarianzBearbeiten

Für die Kovarianz zwischen der Anzahl der Kugeln gilt

 

wenn  .

BeispielBearbeiten

Es ist eine Urne mit 5 schwarzen, 10 weißen und 15 roten Kugeln gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, bei sechsmaligem Ziehen genau zwei Kugeln von jeder Farbe zu ziehen, ist

 ,

also knapp acht Prozent. Es ist  . Damit folgt zum Beispiel für den Erwartungswert der schwarzen Kugeln  .

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur hypergeometrischen VerteilungBearbeiten

Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der multivariaten hypergeometrischen Verteilung mit   und  . Man beachte hier die unterschiedlichen Parametrisierungen.

Beziehung zur MultinomialverteilungBearbeiten

Die multivariate hypergeometrische Verteilung und die Multinomialverteilung sind verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell entstehen, mit dem Unterschied, dass im Multinomialmodell zurückgelegt wird. Insbesondere lässt sich zeigen, dass wenn   und   gilt, sodass   ist, und die   eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf   definieren, dann   punktweise gegen die Multinomialverteilung   mit den Parametern   und   konvergiert. Die multivariate hypergeometrische Verteilung kann somit durch die Multinomialverteilung approximiert werden.

LiteraturBearbeiten