Inverse Normalverteilung
Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift und Streuungskoeffizient ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus invers normalverteilt mit den Parametern . Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.
Definition Bearbeiten
Eine stetige Zufallsvariable genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern (Ereignisrate) und (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt.
Eigenschaften Bearbeiten
Erwartungswert Bearbeiten
Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert
- .
Varianz Bearbeiten
Die Varianz ergibt sich analog zu
- .
Standardabweichung Bearbeiten
Daraus erhält man für die Standardabweichung
Variationskoeffizient Bearbeiten
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten
- .
Schiefe Bearbeiten
Die Schiefe ergibt sich zu
- .
Wölbung (Kurtosis) Bearbeiten
Die Wölbung ergibt sich zu
- .
Die Exzess-Kurtosis ist
- .
Charakteristische Funktion Bearbeiten
Die charakteristische Funktion hat die Form
- .
Momenterzeugende Funktion Bearbeiten
Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist
- .
Reproduzierbarkeit Bearbeiten
Sind Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern und , dann ist die Größe wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern und .
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Inverse Gaussian Distribution. In: MathWorld (englisch).