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Zweipunktverteilung

Die Zweipunktverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine einfache diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auf einer zweielementigen Menge definiert wird. Bekanntester Spezialfall ist die Bernoulli-Verteilung, die auf definiert ist.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Zufallsvariable   auf   mit   heißt zweipunktverteilt, wenn

  ist.

Die Verteilungsfunktion ist dann

 

EigenschaftenBearbeiten

Sei im Folgenden  .

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert einer zweipunktverteilten Zufallsgröße ist

 .

Varianz und weitere StreumaßeBearbeiten

Für die Varianz gilt

 .

Demnach ist die Standardabweichung

 

und der Variationskoeffizient

 .

SymmetrieBearbeiten

Ist  , so ist die Zweipunktverteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert.

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe der Zweipunktverteilung ist

 .

Wölbung und ExzessBearbeiten

Der Exzess der Zweipunktverteilung ist

 

und damit ist die Wölbung

 .

Höhere MomenteBearbeiten

Die k-ten Momente ergeben sich als

 .

Dies kann beispielsweise mit der momenterzeugenden Funktion gezeigt werden.

ModusBearbeiten

Der Modus der Zweipunktverteilung ist

 

MedianBearbeiten

Der Median der Zweipunktverteilung ist

 

Wahrscheinlichkeitserzeugende FunktionBearbeiten

Sind  , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

 .

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion ist für beliebiges   gegeben als

 .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion ist für beliebiges   gegeben als

 .

Konstruktion der Verteilung zu vorgegebenen ParameternBearbeiten

Sind Erwartungswert  , Standardabweichung   und Schiefe   vorgegeben, erhält man wie folgt eine passende Zweipunktverteilung:

 
 
 
 

Summen von zweipunktverteilten ZufallsvariablenBearbeiten

Die Zweipunktverteilung ist für   nicht reproduktiv. Das heißt, wenn   zweipunktverteilt sind, dann ist   nicht mehr zweipunktverteilt. Einzige Ausnahme ist der degenerierte Fall mit   (bzw.  ). Dann handelt es sich um eine Dirac-Verteilung auf   (bzw. auf  ), die entsprechend reproduktiv und sogar unendlich teilbar ist.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur Bernoulli-VerteilungBearbeiten

Eine Zweipunktverteilung auf   ist eine Bernoulli-Verteilung.

Beziehung zur Rademacher-VerteilungBearbeiten

Die Rademacher-Verteilung ist eine Zweipunktverteilung mit  .

LiteraturBearbeiten

  • Thomas Mack: Versicherungsmathematik. 2. Auflage. Verlag Versicherungswirtschaft, 2002, ISBN 388487957X.