Eulersche Betafunktion

mathematische Funktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

wobei und einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines

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Bei festem   (bzw.  ) ist   eine meromorphe Funktion von   (bzw.  ), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

 .

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit   und   (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution  )

 

An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang   und   für ganze Zahlen   hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl   für alle rationalen, nicht ganzzahligen   transzendent ist.[1]

Beziehung zur Gammafunktion

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Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

 

wobei   die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.[2]

Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:

 

nun kann man die Variablen   und   substituieren und erhält damit

 

Teilt man nun beide Seiten durch  , erhält man das Resultat.

Darstellungen

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Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

 
 
 
 
 
 

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

 

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive   und   auf:

 .

Ableitung

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Die Ableitung ist gegeben durch

 

wobei   die Digamma-Funktion ist.

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:

 

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.

 
 
 
 
 

Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.

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Einzelnachweise

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  1. Theodor Schneider: Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1])
  2. Emil Artin: The Gamma Function. S. 18–19 (plouffe.fr (Memento des Originals vom 12. November 2016 im Internet Archive) [abgerufen am 11. November 2016]).