Transzendente Zahl

komplexe Zahl

In der Mathematik heißt eine reelle Zahl (oder allgemeiner eine komplexe Zahl) transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines (vom Nullpolynom verschiedenen) Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede reelle transzendente Zahl ist überdies irrational.

Einordnung ohne mathematisches VorwissenBearbeiten

In der Zahlentheorie (der Wissenschaft, die sich mit den ganzen Zahlen und deren Eigenschaften beschäftigt) ist die Frage von Wichtigkeit, wie natürlich eine Zahl charakterisiert werden kann. Da die ganzen Zahlen   auf besonders natürliche Weise in Erscheinung treten, weil sie unmittelbar mit dem Prozess des Zählens verbunden sind, ist es naheliegend zu fragen, inwiefern eine beliebige Zahl   mit diesen in Zusammenhang steht. Gilt zum Beispiel  , so ist   einfach ein Quotient zweier ganzer Zahlen (eine „Bruchzahl“) – rein algebraisch kann   also als Lösung der ganzzahligen Gleichung

 

charakterisiert werden. Da in einer solchen Gleichung nur ein simples   auftritt, spricht man bei den rationalen Zahlen auch von „Zahlen von Grad 1“. Legt man die Natürlichkeit des Addierens und Multiplizierens zugrunde, ist es konsequent, die Potenzen   als natürliche (algebraische) Verwandte der ursprünglichen Zahl   zu sehen, ebenso Summen und Differenzen sowie Produkte aus diesen Zahlen. Gelingt es uns nun, aus endlich vielen solcher Zahlen die Zahl Null zu kombinieren, ist eine enge Verwandtschaft zu den ganzen Zahlen hergestellt. Beispielsweise gelangen wir mit der Quadratwurzel aus 3, nämlich  , nach endlich vielen elementar algebraischen Schritten zur Null: Wir multiplizieren sie mit sich selbst, erhalten damit  , und ziehen vom Ergebnis 3 ab, also  . Da die Zahl   dabei zweimal multipliziert wurde, hat sie höchstens den „Grad 2“ (im Falle von   ist der Grad in der Tat gleich 2, da dies keine rationale Zahl ist).

Bei transzendenten Zahlen handelt es sich um Zahlen, die nach endlich vielen elementaren algebraischen Manipulationen niemals zur Zahl Null gemacht werden können. Daher sind sie aus Sicht der Algebra in gewisser Hinsicht „unsichtbar“. Ein wichtiges Beispiel einer transzendenten Zahl ist die Kreiszahl  . Sie spielt geometrisch eine elementare Rolle, da sie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt, ist jedoch aus algebraischer Sicht äußerst mysteriös. Eine Anschauung dafür liefert die Idee, dass ein Kreis „unendlich viele Ecken“ hat und sich beim Grenzübergang von sehr feinen  -Ecken zum Kreis (alle mit algebraisch „sichtbarem“ Umfang) der Umfang immer weiter im Grad erhöht, um letztendlich „völlig aus der Algebra zu verschwinden“.

Obwohl transzendente Zahlen so ungreifbar sind, sind sie deutlich zahlreicher anzutreffen als algebraische Zahlen. Dies liegt daran, dass die Eigenschaft, algebraisch zu sein, eine sehr erlesene ist und mit weitreichenden Konsequenzen und strukturellen Eigenschaften einhergeht. Der Gedanke, dass andersherum algebraische Zahlen „besonders selten“ sind, liegt daher mehr auf der Hand. Ein subjektiv beobachtetes besonders häufiges Auftreten algebraischer Zahlen lässt sich damit erklären, dass viele Phänomene in Alltag und Wissenschaft auf sehr elementaren und natürlichen Prozessen beruhen. Darüber hinaus werden reelle Zahlen im alltäglichen Gebrauch durch zum Beispiel Runden stark vereinfacht, wobei algebraische Fragen wenn überhaupt nur annähernd beantwortet werden müssen. Da selbst in der algebraischen Zahlentheorie stets auf Grundlage starker Strukturen gearbeitet wird, spielen transzendente Zahlen trotz ihrer „natürlichen Häufigkeit“ in dieser Disziplin nur eine begrenzte Rolle. Fragen rund um transzendente Zahlen, zum Beispiel, ob eine bestimmte Zahl transzendent ist, und Methoden, dies zu ermitteln, sind äußerst schwierig und Gegenstand intensiver mathematischer Forschung.

DefinitionBearbeiten

Eine komplexe Zahl   heißt transzendent, wenn sie keine algebraische Zahl ist, wenn also kein Polynom

 

existiert mit  .

Geschichtliche Entwicklung des TranszendenzbegriffsBearbeiten

Entdeckung des KonzeptesBearbeiten

Die Vorstellung der mathematischen Transzendenz kam im Laufe des 18. Jahrhunderts ganz allmählich in den Überlegungen großer Mathematiker wie Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt, lat.: Sie sind jenseits aller Vernunft) und Leonhard Euler auf, die zwar keine strenge Definition dieses Begriffs besaßen, sich aber trotzdem sicher waren, dass es solche mathematisch „schwer fassbaren“ Zahlen geben müsse, von denen Euler schrieb, sie „überschreiten […] die Wirksamkeit algebraischer Methoden“. 1748 behauptete Euler in seinem Lehrbuch Introductio in Analysin Infinitorum sogar, dass bei positivem rationalem   und natürlichem  , das keine Quadratzahl ist, die Zahl   nicht rational ist, aber auch „nicht mehr irrational“ sei (wobei er unter „irrationale Zahlen“ den heute algebraische Zahlen genannten Zahlenbereich verstand). Tatsächlich wurde diese Transzendenzvermutung 1934 als Spezialfall eines Resultats des russischen Mathematikers Alexander Ossipowitsch Gelfond sowie des deutschen Mathematikers Theodor Schneider in ihrer Richtigkeit bestätigt. Ihre Beweise unterscheiden sich in wesentlichen Punkten.

Erste Konstruktionen transzendenter ZahlenBearbeiten

Joseph Liouville konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele liefern. In seiner Arbeit konnte er zeigen, dass es für jede algebraische Zahl   vom Grad   eine Konstante   gibt, sodass für jede rationale Approximation  :

 

gilt. Daraus folgt, dass die Liouville-Konstante

 

transzendent ist.

Siehe Beweis des Approximationssatz von Liouville im Beweisarchiv.

Beweis der Überabzählbarkeit durch Georg CantorBearbeiten

Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es „mehr“ transzendente als algebraische Zahlen gibt. Im Gegensatz zu Liouville verwendete Cantors Existenzbeweis für transzendente Zahlen keine zahlentheoretischen Eigenschaften der algebraischen Zahlen, sondern ist (aus heutiger Sicht) rein mengentheoretischer Natur. Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs ‚mehr‘ war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte. Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen. Cantor bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) abzählbar ist, während die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar (unendlich, aber nicht abzählbar) ist. Daraus folgt auch leicht, dass die Menge aller transzendenten Zahlen gleichmächtig mit der Menge aller reellen Zahlen (insbesondere: ebenfalls überabzählbar) ist.

ÜberabzählbarkeitBearbeiten

Die Menge   ist überabzählbar. Das bedeutet, dass es nicht möglich ist, durch „Abzählen“ von transzendenten Zahlen, etwa in der Form   eine vollständige Liste anzufertigen, auch wenn diese unendlich lang ist. Ein Beweis kann indirekt über die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen (für die also eine solche Liste existiert) und die Überabzählbarkeit der Menge aller komplexen Zahlen gegeben werden.

Für die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen hilft die Vorstellung, dass sich eine zählbare Auflistung von Listen wieder als eine zählbare Liste herausstellt. Vereinigt man gedanklich also die Listen   und   usw. wird die resultierende Liste wieder eine Abzählung sein. Dies erklärt, warum es eine Abzählung aller Polynome mit ganzen Koeffizienten gibt, da diese in der Form

 

gegeben sind. Ist die Liste der Polynome jedoch abzählbar, so auch die Liste von deren (stets höchstens endlich vielen) Lösungen.

Dieser Sachverhalt kann mengensprachlich wie folgt formuliert werden:

Wenn   die Menge der transzendenten Zahlen und   die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, dann gilt:

 

Hierbei ist   das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit von  ;   (sprich „Aleph null“) ist das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge, insbesondere der Menge   der natürlichen Zahlen.

Six Exponentials TheoremBearbeiten

Das Six Exponentials Theorem trifft die folgende Aussage: Sind   zwei über   linear unabhängige komplexe Zahlen, und   drei über   linear unabhängige komplexe Zahlen, so ist mindestens eine der sechs Zahlen   mit   und   transzendent. Es kann damit zum Beispiel gezeigt werden, dass mindestens eine der Zahlen   transzendent ist.

Der Satz stammt von Serge Lang[1] und Kanakanahalli Ramachandra[2] mit Vorarbeiten von Carl Ludwig Siegel und Theodor Schneider.[3]

Vermutung von SchanuelBearbeiten

Eine der weitreichendsten Vermutungen in der Theorie transzendenter Zahlen ist die sog. Vermutung von Schanuel. Diese besagt: Sind   komplexe Zahlen, die linear unabhängig über   sind, so ist der Transzendenzgrad des Körpers

 

mindestens  . Dies bedeutet, dass es mindestens   Zahlen   in   geben müsste, sodass für ein Polynom   mit   Variablen und rationalen Koeffizienten gilt: Aus   folgt bereits, dass   die konstante Nullfunktion sein muss.

Elliptische Funktionen und ModulformenBearbeiten

Die Weierstraßsche  -FunktionBearbeiten

Die  -Funktion von Weierstraß über einem Gitter   ist eine elliptische (d. h. doppeltperiodische meromorphe) Funktion, also   für jedes  , die der Differentialgleichung

 

genügt. Sind nun die zu dem Gitter zugehörigen Eisensteinreihen   (zwei komplexe Zahlen) beide algebraisch, so ist für jede algebraische Zahl   der Wert   transzendent. Dies hat wichtige Konsequenzen für die nicht-trivialen Perioden zu elliptischen Kurven: Nichtverschwindende Perioden jeder elliptischen Kurve   mit algebraischen   und   sind notwendigerweise transzendent.

Weiter kann gezeigt werden, dass, falls   und   algebraisch sind und   irgendeine komplexe Zahl ist, die kein Pol von   ist, mindestens eine der beiden Zahlen   und   transzendent ist.

Die  -InvarianteBearbeiten

Im Falle der  -Invarianten ist durch einen Satz von Schneider bekannt, dass für algebraische Zahlen   der Funktionswert   genau dann algebraisch ist, wenn   ein sogenannter CM-Punkt ist (dabei steht CM für complex multiplication). Dies bedeutet erstmal nur, dass   eine quadratische Gleichung   löst. Beispielsweise ist

 

sogar eine ganze Zahl.

Transzendenzbeweise von e und πBearbeiten

Die ursprünglichen Beweise der Transzendenz von   und   stammen von Charles Hermite bzw. von Ferdinand von Lindemann. Die Beweise sind allerdings nur sehr schwer nachzuvollziehen. Im Laufe der Zeit gab es aber immer wieder Vereinfachungen dieser Beweise. Einen sehr „eleganten“ Beweis veröffentlichte der berühmte Mathematiker David Hilbert (1862–1943) im Jahre 1893 in seinem Aufsatz „Über die Transcendenz der Zahlen   und  “.

Siehe Beweis der Transzendenz von   und   im Beweisarchiv.

Beispiele für transzendente ZahlenBearbeiten

  •  
Aus der Transzendenz von  , die von Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde, folgt die Unlösbarkeit der Quadratur des Kreises mittels Zirkel und Lineal.
  •  ,
die Eulersche Zahl, deren Transzendenz 1873 von Charles Hermite bewiesen werden konnte.
  •   für algebraisches  . Siehe auch Satz von Lindemann-Weierstraß.
  •  . Allgemeiner konnten Gelfond 1934 sowie Theodor Schneider 1934 unabhängig voneinander mit verschiedenen Methoden zeigen: Ist  ,   algebraisch,   algebraisch und irrational, dann ist   eine transzendente Zahl. Dies ist eine Teillösung von Hilberts siebtem Problem. Für transzendente   gilt dieser Satz offensichtlich nicht, da z. B.   (siehe auch Satz von Gelfond-Schneider).
  • Liouvillesche Zahlen. Sie ergeben sich durch die Konstruktionen mit besseren rationalen Approximationen an irreale Zahlen als durch den Satz von Liouville gegeben. Ebenso ergeben sich Beispiele aus der Verschärfung des Satzes von Liouville im Satz von Thue-Siegel-Roth.
  • Der Sinus   einer algebraischen Zahl   (siehe wieder Satz von Lindemann-Weierstraß).
  • Der Logarithmus   einer rationalen positiven Zahl  .
  •   und   (siehe Gammafunktion)
  •  ,  . Die Klammer   ist hierbei die Gaußklammer.
  • Die Zahl  , gebildet durch Aneinanderfügen der natürlichen Zahlen im Dezimalsystem, und ähnlich gebildete Zahlen in Stellenwertsystemen auf anderer Basis als 10 (Kurt Mahler 1946).

VerallgemeinerungBearbeiten

Im Kontext allgemeiner Körpererweiterungen   betrachtet man ebenfalls Elemente in  , die algebraisch oder transzendent über   sind. Siehe dazu Algebraisches Element.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Alan Baker: Transcendental number theory. Reprinted edition. Cambridge University Press, London u. a. 1990, ISBN 0-521-39791-X (ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-64630-2 (bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
  • Naum Iljitsch Feldman, Juri Walentinowitsch Nesterenko: Number Theory IV: Transcendental numbers. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 44, Springer, 1997, ISBN 978-3540614678.
  • David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen   und  . In: Mathematische Annalen. Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, doi:10.1007/BF01443645.
  • Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-97661-2 (enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für  ).
  • Kurt Mahler: Lectures on transcendental numbers. Lecture notes in mathematics 566, Springer, 1976.
  • M. Ram Murty, Purusottam Rath: Transcendental Numbers. Springer, New York 2014, ISBN 978-1-4939-0831-8.
  • Oskar Perron: Irrationalzahlen (= Göschens Lehrbücherei. Gruppe 1: Reine Mathematik. Bd. 1, ZDB-ID 503797-9). de Gruyter, Berlin u. a. 1921.
  • Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ISSN 0072-7830). Springer, Berlin u. a. 1957.
  • Carl Ludwig Siegel: Transcendental numbers. Annals of Mathematical Studies, Princeton UP, 1949. Deutsche Übersetzung: Transzendente Zahlen. BI Hochschultaschenbücher, 1967.
  • Andrei Borissowitsch Schidlowski: Transcendental numbers (= De Gruyter Studies in Mathematics. Bd. 12). de Gruyter, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-11-011568-9 (besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).
  • Fridtjof Tönniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Spektrum Akademischer Verlag, 2010.
  • Michel Waldschmidt: Transcendence Methods. Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics 52, Queen’s University, Kingston 1979.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Serge Lang: Introduction to transcental numbers. Addison-Wesley, 1966, Kapitel 2.
  2. Ramachandra: Contributions to the theory of transcendental numbers. Teil 1, 2, Acta Arithmetica, Band 14, 1967/68, S. 14: 65–72, 73–88.
  3. Mathworld: Six exponentials theorem.