Liouvillesche Zahl

Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl welche die Bedingung erfüllt, dass für jedes natürliche ganze Zahlen und mit existieren, sodass gilt:

Irrationalität und TranszendenzBearbeiten

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl   mit ganzzahligem Zähler   und ganzzahligem Nenner   gibt es eine ganze Zahl   mit   (vgl. Archimedisches Axiom). Wenn nun   und   ganze Zahlen mit   und   sind, dann gilt:

 

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

  (Folge A012245 in OEIS)

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent, aber nicht Liouvillesch.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten