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Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl welche die Bedingung erfüllt, dass für alle positiven ganzen Zahlen ganze Zahlen und mit existieren, so dass

Irrationalität und TranszendenzBearbeiten

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl   mit ganzzahligem Zähler   und positiv ganzzahligem Nenner   gibt es eine positive ganze Zahl   mit   Wenn nun   und   ganze Zahlen mit   und   sind, dann ist

 

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

  (Folge A012245 in OEIS)

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So ist beispielsweise die Eulersche Zahl transzendent, aber nicht Liouvillesch.

LiteraturBearbeiten

  • Joseph Liouville: Nouvelle démonstration d'un théoreme sur les irrationalles algébriques, inséré dans le compte rendu de la dernière séance. In: Compte Rendu Acad. Sci. Paris. Band 18, 1844, S. 910–911.
  • S. V. Kotov: Liouville number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).

WeblinksBearbeiten