Satz von Gelfond-Schneider

mathematischer Satz

Mithilfe des Satzes von Gelfond-Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden. Er wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon ein Jahr später von Theodor Schneider bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.

Aussage des SatzesBearbeiten

Es seien   und   algebraische Zahlen (mit  ).   sei darüber hinaus nicht rational.

Dann besagt der Satz von Gelfond-Schneider:

  ist transzendent.

Für   und   dürfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden. Dann gilt   . Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von   eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.

Er lässt sich auch so formulieren, dass für Logarithmen zweier algebraischer Zahlen aus der linearen Unabhängigkeit über den rationalen Zahlen die lineare Unabhängigkeit über den algebraischen Zahlen folgt. In dieser Formulierung ist der Satz von Gelfond-Schneider in den 1960er Jahren von Alan Baker erheblich erweitert worden.

Satz von Baker: Wenn die   algebraische Zahlen sind, die über den rationalen Zahlen linear unabhängig sind, dann sind   linear unabhängig über den algebraischen Zahlen.

AnwendungenBearbeiten

Aus dem Satz von Gelfond-Schneider folgt unmittelbar die Transzendenz der folgenden Zahlen:

  • Die Gelfond-Schneider-Konstante   sowie  
  • Die Gelfond-Konstante  , da   . Man beachte, dass   keine rationale Zahl ist.
  • Die Zahl  , die wegen   eine reelle Zahl ist.
  •   ist transzendent, denn sonst erhält man durch Einsetzen von  ,   (wobei b irrational ist) einen Widerspruch

Siehe auchBearbeiten

Literatur und LinksBearbeiten

  • Alexander Gelfond: On Hilbert's seventh problem. In: Doklady Akademii Nauk SSSR. Izvestija Akedemii Nauk, Moskau 2.1934, S. 177–182. ISSN 0002-3264
  • Th. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. Bd. I. Transzendenz von Potenzen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. de Gruyter, Berlin 172.1934, S. 177–182. ISSN 0075-4102
  • Beweis (auf Englisch) (PDF-Datei; 89 kB)