Hauptmenü öffnen

Wikipedia β

Lückenhaft In diesem Artikel oder Abschnitt fehlen noch wichtige Informationen. Hilf der Wikipedia, indem du sie recherchierst und einfügst.

Die mathematische Disziplin der diophantischen Approximation, benannt nach Diophantos von Alexandria, beschäftigt sich mit der Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen. Bekannte Sätze in der Theorie der diophantischen Approximation sind der dirichletsche Approximationssatz und der Satz von Thue-Siegel-Roth.

Die Theorie spielt auch eine bedeutende Rolle bei der Frage der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen und in der Theorie transzendenter Zahlen.

Euler bewies im 18. Jahrhundert, dass die besten rationalen Approximationen reeller Zahlen durch die regulären Kettenbrüche gegeben sind (bricht man den Kettenbruch an einer Stelle ab, hat man eine rationale Zahl als Näherung an die reelle Zahl). Dass eine beste Approximation von ist, bedeutet dabei, dass

für jede rationale Zahl mit gilt – dass also jede bessere Näherung einen größeren Nenner hat.

Manchmal wird auch folgende Ungleichung für die Definition der besten Näherung verwendet:

Beste Näherungen im Sinn dieser Definition sind auch beste Näherungen im Sinn der ersten Definition, aber nicht umgekehrt. Bei regulären Kettenbrüchen sind die -ten Näherungsbrüche beste Näherungen im Sinn der zweiten Definition (siehe Kettenbruch und weitere dort angegebene Resultate).

Joseph Liouville bewies 1844, dass es bei algebraischen Zahlen (Lösungen einer algebraischen Gleichung vom Grad ) eine untere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt, die vom Nenner der rationalen Zahl abhängt und vom Grad der Gleichung:

mit einer von der zu approximierenden Zahl abhängigen Konstanten . Liouville gelang damit auch der erste Beweis der Existenz einer transzendenten Zahl und ähnliche Methoden wurden für Transzendenzbeweise benutzt wie für die Eulersche Zahl oder die Kreiszahl . Der Satz von Liouville wurde im Lauf der Zeit verschärft bis zum Satz von Thue-Siegel-Roth im 20. Jahrhundert mit einem Exponenten im Nenner bei der unteren Schranke und einer Konstanten, die zusätzlich von der beliebig kleinen reellen Zahl abhing.

Eine obere Schranke für die Näherung durch rationale Zahlen gibt der dirichletsche Approximationssatz: Für jede irrationale algebraische Zahl gibt es unendlich viele rationale Näherungen mit

Auf der rechten Seite kann der Nenner noch auf verbessert werden (Émile Borel), eine weitere Verschärfung ist nach dem Satz von Hurwitz nicht möglich, da es für die Näherung der goldenen Zahl für im Nenner mit nur endlich viele Lösungen gibt.

LiteraturBearbeiten

  • J. F. Koksma: Diophantische Approximationen. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer, Berlin 1936.
  • J. W. S. Cassels: An introduction to diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45, Cambridge University Press, 1957.
  • Vladimir G. Sprindžuk: Metric theory of Diophantine approximations. John Wiley & Sons, New York NY u. a., 1979, ISBN 0-470-26706-2.
  • Wolfgang M. Schmidt: Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785, Springer, 1980.
  • Serge Lang: Introduction to Diophantine Approximations, New Expanded Edition. Auflage, Springer-Verlag, New York NY u. a., 1995, ISBN 0-387-94456-7.

WeblinksBearbeiten