Die j-Funktion oder absolute Invariante (j-Invariante, Klein-Invariante) spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen, denn man kann zeigen, dass zwei Gitter genau dann ähnlich sind, wenn ihre j-Invarianten übereinstimmen. Sie ist eine grundlegende Modulfunktion in dem Sinne, dass sich alle weiteren Modulfunktionen aus ihr durch rationale Funktionen ergeben.

j-Funktion in der komplexen Ebene (ohne Faktor 12^3)

DefinitionBearbeiten

Für   (obere Halbebene) ist

 ,

dabei ist   die Diskriminante;   und   sind die Eisensteinreihen zum Gitter  .

EigenschaftenBearbeiten

 
Fundamentalbereich (blau) der j-Funktion

Die j-Funktion ist holomorph auf   (sie hat nur einen einfachen Pol in der Spitze, also für  )[1], die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Modulgruppe  , es gilt nämlich:

 , d. h.   ist eine Modulfunktion.

Die j-Funktion bildet   surjektiv auf   ab. Für Punkte   gilt   dann und nur dann wenn es eine komplexe Zahl   gibt, die das Gitter   auf das Gitter   überführt, also genau dann wenn die Quotienten   und   als elliptische Kurven isomorph sind. Sie parametrisiert also eindeutig die Elliptischen Funktionen. Sie liefert eine Bijektion  . Ihr Fundamentalbereich ist durch die Modulfigur gegeben (siehe Abbildung).

Ist   ein Element aus einem quadratischen Zahlkörper mit positiven Imaginärteil, so ist   eine ganzalgebraische Zahl.

Jede Modulfunktion ist eine rationale Funktion der j-Funktion.

FourierentwicklungBearbeiten

Die j-Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

 

mit  

Alle Fourierkoeffizienten  :

  (Folge A000521 in OEIS)

sind natürliche Zahlen. Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel

 ,

die 1932 von Petersson und unabhängig davon 1938 von Rademacher bewiesen wurde.

Die Fourierkoeffizienten sind Linearkombinationen der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten. Dies folgt aus einer tiefen mathematischen Beziehung, die von McKay, Conway, Norton vermutet und von Richard Borcherds bewiesen wurde („monstrous moonshine“).

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Das folgt daraus, dass im Zähler Eisensteinreihen stehen, die in diesem Grenzfall holomorph sind, und im Nenner die Diskriminante, die eine Spitzenform ist und eine einfache Nullstelle in dem betrachteten Grenzfall hat