Algebraisches Element

Verallgemeinerung der algebraischen und transzendenten Zahlen

Die Begriffe algebraisches und transzendentes Element treten in der abstrakten Algebra auf und verallgemeinern das Konzept von algebraischen und transzendenten Zahlen.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Körpererweiterung,   ein Element. Dann heißt   algebraisch über  , wenn es ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit Koeffizienten in   gibt, das   als Nullstelle hat.

Ein Element aus  , das nicht algebraisch über   ist, heißt transzendent über  .[1]

BeispieleBearbeiten

  • Eine komplexe Zahl ist genau dann eine algebraische Zahl, wenn sie ein algebraisches Element in der Körpererweiterung   ist.
  • Die Quadratwurzel von 2 ist algebraisch über  , denn sie ist eine Nullstelle des Polynoms  , dessen Koeffizienten rational sind.
  • Die Kreiszahl   und die Eulersche Zahl   sind transzendent über  . Sie sind aber algebraisch über  , weil sie als reelle Zahlen definiert sind. Allgemeiner gilt:
  • Jedes Element   des Körpers   ist algebraisch über  , denn es ist Nullstelle des linearen Polynoms  .
  • Jede komplexe Zahl, die sich durch rationale Zahlen, die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Wurzelziehen (mit natürlichen Wurzelexponenten) bilden lässt, ist algebraisch über  .
  • Aus der Galoistheorie folgt aber, dass es umgekehrt über   algebraische Zahlen gibt, die sich nicht auf diese Weise darstellen lassen; vergleiche hierzu den Satz von Abel-Ruffini.
  • Über dem Körper   der p-adischen Zahlen ist   (als Grenzwert der Reihe der reziproken Fakultäten) algebraisch, denn für   ist   und für   ist   in   enthalten.
  • Bildet man zu einem beliebigen Körper   den Körper der formalen Laurentreihen  , so ist die formale Variable   ein transzendentes Element dieser Erweiterung.

EigenschaftenBearbeiten

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent für ein Element   aus   (einem Oberkörper von  ):[2]

  •   ist algebraisch über  .
  • Die Körpererweiterung   hat endlichen Grad, d. h.,   ist als  -Vektorraum endlichdimensional.
  •  

Dabei ist   die Ringadjunktion von   an  , die aus allen Elementen von   besteht, die sich als   mit einem Polynom   über   schreiben lassen.   ist dessen Quotientenkörper in   und besteht aus allen Elementen von  , die sich als   mit Polynomen   und   über   (  ungleich dem Nullpolynom) schreiben lassen.

Diese Charakterisierung kann genutzt werden, um zu zeigen, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient von über   algebraischen Elementen wieder algebraisch über   sind. Die Menge aller über   algebraischen Elemente von   bildet einen Zwischenkörper der Erweiterung  , den sogenannten algebraischen Abschluss in  . Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem algebraischen Abschluss von  .

MinimalpolynomBearbeiten

Ist   algebraisch über  , dann gibt es genau ein normiertes Polynom aus   mit kleinstem Grad   und Nullstelle  , dieses heißt „das Minimalpolynom von   über  “. Man bezeichnet   auch als algebraisches Element vom Grad   bezüglich  .   hat als Vektorraum über   die Dimension  , eine mögliche Basis ist  . Also ist der Erweiterungsgrad von   ebenfalls gleich  .[3]

BeispielBearbeiten

  ist ein algebraisches Element vom Grad 4 über  , denn aus

 
 
 

ergibt sich das Minimalpolynom

 ,

also ein Polynom 4. Grades. Damit ist   eine Basis von   als Vektorraum über  . Eine andere mögliche Basis ist  , d. h.,

 

und   ist eine Körpererweiterung vom Grad 4.

VerallgemeinerungBearbeiten

In Ringerweiterungen kann der Begriff des ganzen Elementes definiert werden. Fasst man eine Körpererweiterung als Ringerweiterung auf, so ist ein Element dort genau dann ganz, wenn es ein algebraisches Element der Körpererweiterung ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.2.10.
  2. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.3.3 und Satz 6.3.4.
  3. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 6.3.