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Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Gaussklammer, mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Gaußklammer)

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.[1] Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen und (engl. floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie und (engl. ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.[2] Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.[3][4] Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.[5]

Inhaltsverzeichnis

Abrundungsfunktion oder GaußklammerBearbeiten

 
Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

DefinitionBearbeiten

Für eine reelle Zahl   ist   die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich   ist:
 

BeispieleBearbeiten

  •  
  •  
Man beachte, dass   nicht etwa gleich   ist. Die Definition verlangt ja  , und es ist  .
  •  
  •  

EigenschaftenBearbeiten

  • Für alle   gilt
  •  :  .
  • Es gilt immer  . Dabei ist   genau dann, wenn   eine ganze Zahl ist.
  • Für jede ganze Zahl   und jede reelle Zahl   gilt
  •  :  .
  • Für alle reellen Zahlen   gilt
  •  :  .
  • Für jede ganze Zahl   und jede natürliche Zahl   gilt
  •  :  .
  • Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt
  •  :  .
  • Sind   und   teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt
  •  :  .
  • Für nichtganze reelle   konvergiert die Fourierreihe der  -periodischen Funktion  , und es gilt
  •  :  .
  • Sind   und  , so gilt
 .
Daraus folgt direkt, dass, falls  ,
 .
Ferner gilt auch
 .
  • Für reelle Zahlen   gilt außerdem
 

AufrundungsfunktionBearbeiten

 
Aufrundungsfunktion

DefinitionBearbeiten

Für eine reelle Zahl   ist   die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich   ist.
 

BeispieleBearbeiten

  •  
  •  
  •  
  •  

EigenschaftenBearbeiten

  • Es gilt analog
 .
  • Sind   und  , so gilt
 .
Daraus folgt direkt, dass, falls  ,
 .

Allgemeine EigenschaftenBearbeiten

Gaußklammer und DezimalstellenBearbeiten

Es gilt für positive Zahlen:

 
Die Funktion   liefert dabei den Nachkommaanteil mit  .

Zusammenhänge zwischen Auf- und AbrundungsfunktionBearbeiten

  • Es ist stets
 
Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
 
  • Es ist stets
 
 
 

Kaufmännische RundungBearbeiten

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

  •   für  
  •   für  

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür unabhängig vom Vorzeichen des Arguments, die Funktion

  •  .

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms CEILING FUNCTION and FLOOR FUNCTION appear in Kenneth E. Iverson's A Programming Language (1962, p. 12): "Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by   and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by   and defined as the smallest integer not exceeded by x." This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  3. Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783034851671, S. 115
  4. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 9783642976223, S. 28
  5. Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 9783834810397, S. 33-34