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Betaverteilung für verschiedene Parameterwerte
Kumulative Verteilungsfunktion für verschiedene Parameterwerte
Dichten verschiedener betaverteilter Zufallsgrößen

Die Betaverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Intervall .

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die Betaverteilung   ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

 

Außerhalb des Intervalls   wird sie durch   fortgesetzt. Für   lässt sich   durch   ersetzen. Die Betaverteilung besitzt die reellen Parameter   und   (in den nebenstehenden Grafiken   und  ). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird   (bzw.  ) gefordert.

Der Vorfaktor   dient der korrekten Normierung. Der Ausdruck

 

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet   die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

 

mit

 

Die Funktion   heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert berechnet sich zu

 .

ModusBearbeiten

Der Modus, also die Maximalstelle der Dichtefunktion  , ist für  ,  

 .

VarianzBearbeiten

Die Varianz ergibt sich zu

 .

StandardabweichungBearbeiten

Für die Standardabweichung ergibt sich

 .

VariationskoeffizientBearbeiten

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

 .

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe ergibt sich zu

 .

Höhere MomenteBearbeiten

Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente

 .

SymmetrieBearbeiten

Die Betaverteilung ist für   symmetrisch um   mit der Schiefe  .

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgröße lautet

 .

Mit der hypergeometrischen Funktion   erhält man die Darstellung

 .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die charakteristische Funktion

 .

Beziehungen zu anderen VerteilungenBearbeiten

SpezialfälleBearbeiten

Beziehung zur F-VerteilungBearbeiten

Wenn   F-verteilt und   ist, dann verteilt sich  

Beziehung zur GammaverteilungBearbeiten

Wenn   und   unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern   bzw.  , dann ist die Größe   betaverteilt mit Parametern   und  , kurz

 

Beziehung zur stetigen GleichverteilungBearbeiten

Sind   unabhängige auf   stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann sind die Ordnungsstatistiken   betaverteilt. Genauer gilt

 

für  .

MischverteilungenBearbeiten

Eine Binomialverteilung, deren Parameter   betaverteilt ist, nennt man Beta-Binomialverteilung. Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung.

BeispielBearbeiten

Die Betaverteilung kann aus zwei Gammaverteilungen erhalten werden: Der Quotient   aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen   und  , die beide gammaverteilt sind mit den Parametern   und   bzw.  , ist betaverteilt mit den Parametern   und  .   und   lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit   bzw.   Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der Linearen Regression wird eine Regressionsgerade   durch eine Punktwolke mit   Wertepaaren   zweier statistischer Merkmale   und   gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der  -Werte von der Geraden minimiert wird.

Die totale Streuung von y (TSS) lässt sich mit der Streuungszerlegung zerlegen in die so genannte erklärte Streuung der durch die Gerade geschätzten Werte y* (ESS) und die nichterklärte Streuung der Residuen (RSS):

 .

Das Bestimmtheitsmaß, der Anteil der erklärten Streuung an der Gesamtstreuung

 

beziehungsweise

 

ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von   und   darstellt, ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt.

Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim Modelltest der Regression durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

Verallgemeinerung: Betaverteilung auf (a,b)Bearbeiten

DefinitionBearbeiten

Die allgemeine Betaverteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

 

wobei   und   die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von   zu

 

EigenschaftenBearbeiten

Ist   betaverteilt auf dem Intervall   mit Parametern  ,  , dann ist

 

betaverteilt auf dem Intervall   mit den gleichen Parametern  ,  . Ist umgekehrt   betaverteilt auf  , dann ist

 

betaverteilt auf  .

BeispielBearbeiten

Im Dreieckstest werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt A und eine Probe gehört zum Produkt B oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt  .

 
Verteilung der Erfolgswahrscheinlichkeiten einer Stichprobe im Dreieckstest (schwarze Linie) bei einer Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von   (blaue Linie)

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fähigkeiten. Unter der Annahme, dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt, liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter  . Bei Feinschmeckern oder großen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 % ansteigen. Im Folgenden wird für beliebige Rate-Erfolgswahrscheinlichkeiten   mit   die Beta-Verteilung auf   hergeleitet.[1] Aus den eben genannten Gründen modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta-Verteilung auf  .

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten   der einzelnen Probanden   seien zunächst betaverteilt auf   mit Parametern   und  . Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf   ergeben sich aus  . Die Wahrscheinlichkeitsdichte von   lässt sich über den Transformationssatz für Dichten bestimmen. Die Beta-Verteilung von   hat eine positive Dichte im Intervall  . Die Transformation   mit   ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhält man die Umkehrfunktion  . Für die gesuchte Dichtefunktion von   erhält man

 .

Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von   auf   wird in Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichte von   auf   dargestellt. In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Betaverteilung auf   mit Parametern   und   eingezeichnet. Der Erwartungswert beträgt  . Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit   über der Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Brockhoff, Per Bruun. "The statistical power of replications in difference tests." Food Quality and Preference 14.5 (2003): 405-417.

WeblinksBearbeiten