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Die Dirac-Verteilung, manchmal auch Punktverteilung, deterministische Verteilung, Einheitsmasse[1] oder degenerierte Verteilung genannt, ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihr Name folgt daher, dass sie aus dem Diracmaß abgeleitet wird. Sie ist meist nur von theoretischer Bedeutung und spielt eine wichtige Rolle in der Klassifikation der unendlich teilbaren Verteilungen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
Die Verteilungsfunktion von  

Eine reelle Zufallsvariable   heißt Dirac-verteilt zum Punkt  , in Symbolen  , wenn sie die Verteilungsfunktion

 

besitzt. Die Verteilung von   ist also genau das Diracmaß im Punkt  , das heißt für alle messbaren Mengen   gilt

 

Die Zufallsvariable nimmt insbesondere fast sicher den Wert   an, worauf der Name deterministische Verteilung zurückzuführen ist.

EigenschaftenBearbeiten

LagemaßeBearbeiten

Erwartungswert, Modus und Median fallen alle zusammen und sind gleich dem Punkt  

StreumaßeBearbeiten

Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient fallen zusammen und sind alle gleich  

SymmetrieBearbeiten

Die Dirac-Verteilung ist symmetrisch um  .

Höhere MomenteBearbeiten

Die Momente sind gegeben durch

 

EntropieBearbeiten

Die Entropie der Dirac-Verteilung ist 0.

KumulantenBearbeiten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

 .

Damit ist   und alle weiteren Kumulanten sind gleich 0.

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion ist

 

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion ist

 

Reproduktivität, α-Stabilität und unendliche TeilbarkeitBearbeiten

Die Klasse der Dirac-Verteilungen ist reproduktiv, da die Summe Dirac-verteilter Zufallsvariablen wieder Dirac-verteilt ist, da für die Faltung

 

gilt. Des Weiteren sind Dirac-Verteilungen α-stabile Verteilungen mit  . Teilweise werden aber Dirac-Verteilungen explizit von der Definition der α-Stabilität ausgeschlossen. Außerdem sind Dirac-Verteilungen unendlich teilbar, da   gilt.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Die Dirac-Verteilung tritt meist als degenerierter Fall bei schlechter Parameterwahl von anderen Verteilungen auf. Beispielsweise die Bernoulli-Verteilung, die Zweipunktverteilung und die Binomialverteilung alles Dirac-Verteilungen, wenn man   wählt. Des Weiteren ist auch die diskrete Gleichverteilung auf einem Punkt eine Dirac-Verteilung.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 14.