Negative hypergeometrische Verteilung

Die negative hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem endlichen Träger. Sie gehört zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und lässt sich aus dem Urnenmodell ableiten.

DefinitionBearbeiten

Eine Zufallsvariable   auf dem Träger   heißt negativ hypergeometrisch verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

hat. Dabei ist  . Man schreibt dann  .

Herleitung aus dem UrnenmodellBearbeiten

Die negativ hypergeometrische Verteilung entsteht elementar aus dem Urnenmodell. Betrachtet man eine Urne mit   Kugeln, von denen   markiert sind, und zieht aus dieser Urne ohne Zurücklegen, bis man   markierte Kugeln gezogen hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dafür   Ziehungen zu benötigen, negativ hypergeometrisch verteilt.

Denkt man sich dazu in   Ziehungen nacheinander alle Kugeln einzeln aus der Urne gezogen, dann gibt es insgesamt   Möglichkeiten, die   markierten Kugeln auf die   Ziehungen zu verteilen. Das Ereignis, dass genau im  -ten Zug die  -te markierte Kugel gezogen wird, tritt genau dann ein, wenn in den   Zügen davor   markierte Kugeln gezogen werden und in den   Zügen danach die restlichen   markierten Kugeln. Hierfür gibt es   Möglichkeiten.

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert ergibt sich zu

 

VarianzBearbeiten

Für die Varianz erhält man

 

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten